Einen Zeilenvektor mit einem Spaltenmatrix multiplizieren

Question

Unszwar geht es darum, dass ich bei dieser Induktionsaufgabe die Termumformung bei der Matrizenmultiplikation nicht verstehe. Das Informatiker-Latein drumherum (Markov-Kette) ist jetzt nicht so wichtig, es geht mir eher darum, wie der Zeilenvektor mit der Spaltenmatrix ausmultipliziert wird.

Aufgabe:

Die Markov-Kette beginne mit der Verteilung π⁽⁰⁾ = (1,0).

Zeige mit vollständiger Induktion, dass für alle k ∈ℕ gilt: Die Markov-Kette besitzt nach k Schritten diese Verteilung

π^(k) = \( \frac{1}{5} \) (3 + 2 * (\( \frac{2}{3})^{-k} \) ,  2 - 2 * ((\( \frac{2}{3})^{-k} \)).

Problem/Ansatz:

π^k p  = ( x y) * \( \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

Der Term soll also mit der Matrix multipliziert werden, wobei einmal für π1 und einmal für π2 berechnet wird wird. Leider verstehe ich die Schritte in der jeweiligen Induktionsvoraussetzung nicht. Warum wird  \( \frac{1}{5} \) (3 + 2 * (\( \frac{2}{3})^{k} \)) in der nächsten Zeile zu \( \frac{1}{5} \) * (\( \frac{1}{3} \) * 3 + 2..) ?

Induktionsanfang

k = 0

π⁰ =  \( \frac{1}{5} \) (3 + 2 * (\( \frac{2}{3})^{0} \) ,  2 - 2 * ((\( \frac{2}{3})^{0} \)).

= \( \frac{1}{5} \) (3 + 2 * 2) ,  \( \frac{1}{5} \)  2 - 2 *

= (1, 0)

Induktionsvorasussetzung

π₁^(k+1) = π^(k) * p

π₁^(k+1) =  \( \frac{1}{5} \) (3 + 2 * (\( \frac{2}{3})^{k} \)) * \( \frac{1}{3} \) +  \( \frac{1}{5} \) 2 - 2 * (-\( \frac{2}{3})^{k} \)) * 1

= \( \frac{1}{5} \) ( \( \frac{1}{3} * 3 + 2 + ( \frac{1}{3} \) * 2 - 2) (-\( \frac{2}{3})^{-k} \))

= \( \frac{1}{5} \)  (3 * \(-\frac{4}{3} \)  (-\( \frac{2}{3})^{k} \))

= \( \frac{1}{5} \)  (3 + 2 * \(-\frac{2}{3} \)  (-\( \frac{2}{3})^{k} \))

= \( \frac{1}{5} \)  (3 + 2 * (-\( \frac{2}{3})^{k+1} \))

Induktionsanfang
π₂^(k+1) = \( \frac{2}{3} \) * π₁^k + 0  π₂^k

Induktionsvoraussetzung

= \( \frac{2}{3} \) * ( \( \frac{1}{5} \) * (3 + 2 (-\( \frac{2}{5})^{k} \))

= \( \frac{1}{5} \) * ( \( \frac{2}{3} \) 3 + \( \frac{2}{3} \) * (2 (-\( \frac{2}{3})^{k} \))

= \( \frac{1}{5} \) * ( 2 - 2 * \(-\frac{2}{3} \)  (-\( \frac{2}{3})^{k} \))

= \( \frac{1}{5} \)  (2 - 2 * (-\( \frac{2}{3})^{k+1} \))

Answer 1

Der Zeilenvektor ist eine (1×2)-Matrix. Fasse die Multiplikation also als Matrizenmultiplikation auf:$$\begin{pmatrix} x&y \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left(x\cdot \frac 13 + y\cdot 1\right) & \left(x\cdot \frac 23 + y\cdot 0\right) \end{pmatrix} = \dots$$