Question

Müssen ALLE Urbilder bei der Definition der Surjektivität, Injektivität & Bijektivität erfasst sein?

kann mir bitte wer einen Rat geben?

Es gebe 2 Mengen A ("Urbildmenge") und B ("Bildmenge") dergestalt, dass eine Abbildungsvorschrift von A nach B existiert. Dann sagt man:
a) ALLE Elemente in B werden von mindestens einem Element in A nach B abgebildet: surjektive Abbildung.
b) Ein in B vorhandenes Element muss entweder genau aus einem Element aus A abgebildet werden, oder aber überhaupt nicht, d.h. es müssen nicht unbedingt alle Elemente in B eine Abbildung aus A sein: injektive Abbildung.
c) ALLE Elemente in B werden von genau einem Element aus A nach B abgebildet: bijektive Abbildung (= surjektiv + injektiv).

Meine Frage ist nun: angenommen, a), b), c) seien korrekt: müssen denn in jedem genannten Fall IMMER ALLE Elemente aus A nach B abgebildet werden, oder kann es auch sein, dass a), b), c) korrekt ist und zugleich müssen NICHT ALLE in A vorhandenen Elemente nach B abgebildet werden?

Danke für jeglichen Rat.

dj600stoxx

Answer 1

müssen denn in jedem genannten Fall IMMER ALLE Elemente aus A nach B abgebildet werden

Das nennt man dann üblicherweise eine Abbildung.

müssen NICHT ALLE in A vorhandenen Elemente nach B abgebildet werden

Das wäre dann eine sogenannte partielle Abbildung.

Comments

Hallo oswald, herzlichen Dank für die schnelle Antwort.
Das würde dann die Frage generieren, ob denn partielle Abbildungen auch sur-, in- oder bijektiv sein können; ich denke: ja.

Weil:

Angenommen A sei identisch mit der Menge der ganzen Zahlen und B sei definiert als
B= {1, 4, 9, 16, 25} und die Abbildungsvorschrift f: A--> B lautete: f(a) = a^2.
Somit liegt - wenn ich alles richtig verstanden habe - nur eine partielle Abbildung vor (da nicht alle ganzen Zahlen erfasst werden, denn alle a in A, für die gilt: a > 5 oder a < -5 bleiben ja außen vor), die aber surjektiv ist?

Oder bin ich irgendwo komplett entgleist?

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ob denn partielle Abbildungen auch sur-, in- oder bijektiv sein können

Prinzipiell spricht nichts dagegen.

Der Bereich der Mathematik, in dem Injektivität, Surjektivität und Bijektivität eine Rolle spielt, arbeitet aber in der Regel nicht mit partiellen Abbildungen.

In dem Bereich der Mathematik, in dem ich partielle Abbildungen gesehen habe, spielt Injektivität, Surjektivität und Bijektivität keine Rolle.

Somit liegt - wenn ich alles richtig verstanden habe - nur eine partielle Abbildung vor

Das ist korrekt.

die aber surjektiv ist

Das würde ich auch so sehen.

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Ja dann nochmals herzlichen Dank. Ich war verunsichert, weil ich in zwei älteren Büchern Informationen fand, die für mich widersprüchlich waren.
1. Gerd Fischer, "Lineare Algebra", 1978 (rororo) schreibt, dass f surjektiv ist, "falls es zu jedem y ∈ Y ein x ∈ X mit y = f(x) gibt".  Hier würde nicht notwendigerweise gefordert werden, dass ALLE x ∈ X erfasst sein müssen.
2. Lothar Kusch, "Algebra, Ausgabe A", 1979 (Giradet), schreibt, zu surjektiv:
a. "Von allen Elementen in A geht nur ein Pfeil aus" und
b. "Bei allen Elementen von B endet mindestens ein Pfeil".

2b. würde mit 1. übereinstimmen und 2.a. wäre eine zusätzliche Bedingung (nämlich dass auch ALLE Elemente der Urbildmenge erfasst sein müssen.

Mit Deinem Hinweis hat sich diese Widersprüchlichkeit aufgelöst. Dankeschön!