Medikamenteninfusion - Exponentielles Wachstum

Question

Aufgabe:

1. Ein Patient erhält pro Minute 4,5mg eines Medikaments durch eine Infusion ins Blut. Der Körper baut das Medikament ab, dabei beträgt die momentane Abbaurate (in mg/min) 5% der aktuell im Blut vorhandenen Menge?

a) Geben Sie eine Differenzialgleichung an, die die Menge des im Blut vorhandenen Medikaments beschreibt?

b) Geben Sie die Lösung der Differenzialgleichung an. -> ??

    Bestimmen Sie, wie viel von dem Medikament nach einer halben Stunde im Blut ist. -> f(30)

c) Wann ist die momentane Änderungsrate der Menge des Medikaments im Blut am größten? Wie groß ist sie dann? Wie groß ist sie nach einer halben Stunde? → ?

Answer 1

1. Ein Patient erhält pro Minute 4,5mg eines Medikaments durch eine Infusion ins Blut. Der Körper baut das Medikament ab, dabei beträgt die momentane Abbaurate (in mg/min) 5% der aktuell im Blut vorhandenen Menge?

a) Geben Sie eine Differenzialgleichung an, die die Menge des im Blut vorhandenen Medikaments beschreibt?

y(0)=0 ; y'(x)=4.5-0.05*y(x)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y(0)%3D0,y%27(x)%3D4.5-0.05*y(x)

b) Geben Sie die Lösung der Differenzialgleichung an.

y(x) = 90 - 90 e^(-0.05 x)

Bestimmen Sie, wie viel von dem Medikament nach einer halben Stunde im Blut ist.

y(30) = 90 - 90 e^(-0.05 *30) = 69.92 mg

c) Wann ist die momentane Änderungsrate der Menge des Medikaments im Blut am größten? Wie groß ist sie dann? Wie groß ist sie nach einer halben Stunde? → ?

y'(x) = 4.5 e^(-0.05 x)

Da dies eine streng monoton fallende Funktion ist, ist die Änderungsrate am Anfang am größten.

y'(0) = 4.5 mg/min

y'(30) = 1.004 mg/min

Comments

Danke für deine Antwort, ich habe aber ehrlich gesagt nicht ganz verstanden wie diese Differentialgleichungen zustande kommen.

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@Windhagen:

Hast du das hier https://www.mathelounge.de/614259/medikamenteninfusion-exponentielles-wachstum?show=614276#c614276 inzwischen gelesen / verstanden ?

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Also ich habe die Aufgabenstellung so verstanden, dass pro Minute diese 4,5mg des Medikaments ins Blut gelangen. Aber wie gesagt ich habe den Aufbau dieser DGLs bzw. wie man dazu kommt nicht verstanden.

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Eine Differentialgleichung setzt ja die Funktion und ihre Ableitung irgendwie ins Verhältnis.

Die Ableitung bestimmt dabei aber die Änderungsrate.

Wenn jetzt also im Text steht: "dabei beträgt die momentane Abbaurate (in mg/min) 5% der aktuell im Blut vorhandenen Menge"

Dann bedeutet es das die Änderungsrate genau -5% von der aktuellen Menge ist.

Wenn noch im Text steht: "erhält pro Minute 4,5mg eines Medikaments durch eine Infusion ins Blut"

Dann bedeutet es das die Änderungsrate zusätzlich also immer noch + 4.5 ist.

Das fasst man zusammen und kommt so auf die Differentialgleichung.

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Ok, aber es handelt sich ja um begrenztes Wachstum, also es gibt ja Unterschiede zwischen den DGLs bei den Wachstumsprozessen so wie ich das verstanden habe.

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Nein. Aber die Lösung läuft natürlich auf ein begrenztes Wachstum hinaus.

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Hab mir gerade noch ein Video dazu angeguckt und es jetzt verstanden. Danke für die Hilfe.

Answer 2

2a)M'(t)=-0,05*M( t) +4,5mg

Bereits aus einer Antwort hier https://www.mathelounge.de/614256/exponentielles-wachstum-kaferpopulation

Kommst du nun selbst weiter?

Comments

Hallo Lu. Warum ist die Differenzialgleichung nicht

y(0)=4.5, y'(x)=-0.05*y(x)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y(0)%3D4.5,+y%27(x)%3D-0.05*y(x)

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Ich habe nur zitiert und die Aufgabe nicht angeschaut.

lul hatte dort schon eine Antwort, als die Frage dort gelöscht war und Windhagen diese Frage nochmals gestellt hatte.

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Ein Patient erhält pro Minute 4,5mg eines Medikaments durch eine Infusion ins Blut.

@Mathecoach: Wo genau hast du in deiner DGL die Infusion, die jede Minute gemacht wird, eingebaut?

@Windhagen: Ist Infusion nicht ein Plastikbehälter neben dem Krankenbett, der permanent Substanz abgibt? Enthalten Infusionsschläuche Timer, die z.B. alle 60 Sekunden 4.5 mg auf einmal durchlassen?

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Vielen lieben Dank. Irgendwie hatte ich mit einer einmaligen Infusion gerechnet. Aber klar dort steht ja extra das das pro Minute ist.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y(0)%3D0,y%27(x)%3D4.5-0.05*y(x)