Aloha :)
Die Stammfunktion zu \(\frac1x\) ist die Logarithmusfunktion:$$\int\frac1x\,dx=\ln\left|x\right|+\text{const}$$Wichtig bei diesem Integral ist, dass der Integrationsbereich nicht die \(0\) enthalten darf, weil der Integrand \(\frac1x\) bei \(x=0\) nicht definiert ist. Die Betragszeichen in der Stammfunktion stellen sicher, dass auch negative Integrationsgrenzen eingesetzt werden können, denn die Logarithmus-Funktion ist ja nur für \(x>0\) definiert.
Mit diesem Vorwissen sind die Aufgaben leicht zu bewältigen:$$\int\limits_1^5\frac1x\,dx=\left[\ln|x|\right]_1^5=\ln(5)-\ln(1)=\ln(5)\approx1,6094$$$$\int\limits_{-4}^{-2}\frac1x\,dx=\left[\ln|x|\right]_{-4}^{-2}=\ln|-2|-\ln|-4|=\ln(2)-\ln(4)$$$$\qquad=\ln(2)-2\ln(2)=-\ln(2)\approx-0,6932$$$$\int\limits_{2}^{5}\frac2x\,dx=2\int\limits_2^5\frac1x\,dx=2\left[\ln|x|\right]_{2}^{5}=2(\ln(5)-\ln(2))=2\,\ln\left(\frac52\right)\approx1,8326$$$$\int\limits_1^4\left(x^2-\frac1x\right)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-\ln|x|\right]_1^4=\left(\frac{64}{3}-\ln(4)\right)-\left(\frac13-\ln(1)\right)$$$$\qquad=21-\ln(4)\approx19,614$$
