Exponentielles Wachstum - Begründung

Question

Hallo, ich soll begründen, wo exponentielles Wachstum seinen Ursprung hat und bräuchte da mal eure Hilfe. Bisher habe ich folgendes geschrieben:

Von exponentiellem Wachstum (Zerfall) wird gesprochen, wenn eine Größe f(t) immer um den gleichen Faktor q zunimmt (abnimmt), wenn die Funktionsvariable t um eine Einheit zunimmt. Dieser Vorgang kann in Abhängigkeit der Funktionsvariable t mit der Exponentialfunktion f mit f(t)=a∙q^t beschrieben werden. Der Faktor a=f (0) ist der Anfangswert zum Zeitpunkt t=0. Im Punkt Sy (0|a) schneidet der zugehörige Graph die y-Achse. Für q>1 (0<q<1) liegt eine exponentielle Zunahme (Abnahme) vor. Der Wachstumsfaktor (Zerfallsfaktor) q ist als Basis mit dem Exponenten t ablesbar.

Als Zugang zum exponentiellen Wachstum eignet sich die Differentialgleichung f' (t)=λ∙f(t), mit λ ≠0, die aussagt, dass die Änderung immer proportional zum Bestand ist. Bei negativem λ ist die Änderungsrate negativ und es handelt sich um einen exponentiellen Zerfall. Aufgrund der Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion, die mit ihren Ableitungen übereinstimmt, erhalten wir aus dieser Differentialgleichung die Bestandsfunktion des exponentiellen Wachstums f(t)=a∙e^λt,a ϵR. Diese Funktion ist gleichwertig zur oben beschriebenen Funktion f(t)=a∙q^t mit λ = ln(q). Jede dieser Funktionen erfüllt die obige Differenzialgleichung. Für exponentielles Wachstum stehen viele Beispiele aus der Praxis zur Verfügung

Passt das mathematisch gesehen so?

Answer 1

Ja, das ist doch eine sehr schöne Zusammenfassung zu dem

Thema. Allerdings würde ich noch je ein konkretes Beispiel

für Wachstum und Zerfall mit einbauen.

Comments

Ok, aber mathematisch gesehen habe ich das so richtig formuliert? Oder hab ich was vergessen?

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Allenfalls noch zu "wenn eine Größe f(t) immer um den gleichen Faktor q zunimmt (abnimmt), wenn die Funktionsvariable t um eine Einheit zunimmt."

Könnte man (am Ende) sagen: Das gilt nicht nur für eine Einheit sondern

immer: Wenn die Funktionsvariable t um einen bestimmten Wert zunimmt, dann nimmt f(t) immer um den gleichen

Faktor zu.

Wenn du als Beispiel etwa das exponentielle Wachstum der Zahl

der Coronaviren hast, bedeutet das ja dort:

Wenn sich anfangs die Zahl innerhalb einer Woche von

1000 auf 2000 (wirkliche Zahlen müsste man raussuchen)

verdoppelt, dann ist ein paar Wochen später so,

dass sich die Zahl innerhalb einer Woche von

10 Millionen auf 20 Millionen verdoppelt. Die

Verdopplungszeit ist also immer gleich.