Kettenglied: Verhältnis L:D=2,5:1 gegeben. Suche Abmessungen der Kettenglieder.

Question

Aufgabe:

Aus einem Stab mit \( 6 \mathrm{~mm} \) Durchmesser und \( 165,4 \mathrm{~mm} \) Länge sollen Kettenglieder gebogen werden. Welche Abmessungen erhalten die Glieder, wenn sich \( L: D= \) \( 2,5: 1 \) verhalten?

Answer 1

Nun, die Länge des ursprünglichen Stabes (165,4 mm) entspricht der Länge der gestrichelten Linie, welche in der Abbildung im Inneren des Kettengliedes zu sehen ist.

Wie setzt sich diese Linie nun zusammen?

Sie besteht aus zwei geraden Teilen, die jeweils die Länge L_g haben und zwei halbkreisförmigen Teilen mit dem Radius r.

Der Radius r lässt sich aus der Zeichnung ablesen:

r = ( D - 2 * 0,3 ) / 2 = D / 2 - 0,3

Die Länge L_g der geraden Teile lässt sich ebenfalls ablesen:

L_g = L - 2 * 0,3 - 2 r =  L - 0,6 - 2 * ( D / 2 - 0,3 ) = L - 0,6 - 2 D + 0,6 = L - D

Die Länge des ursprünglichen Stabes muss nun also gleich dem zweifachen der Länge L_g zzgl. dem Umfang eines Kreises mit dem Radius r sein, also:

165,4 = 2 * L_g + 2 * π * r

= 2 * ( L - D ) + 2 * π * ( D / 2 - 0,3 )

= 2 * ( L - D ) + π * D - π * 0,6

Nun kommt noch das angegebene Verhältnis L : D = 2,5 :1 ins Spiel. Dieses lässt sich umformen zu

L = 2,5 * D

also:

165,4 = 2 * ( 2,5 * D - D ) + π * D - π * 0,6

= 3 * D + π * D -  π * 0,6

= ( 3 + π ) * D - π * 0,6

<=> D = ( 165,4 + π * 0,6 ) / ( 3 + π ) = 27,238

und daraus ergibt sich wegen L = 2,5 * D:

L = 2,5 * 27,238 = 68,095

Das Kettenglied hat also die Abmessungen

D = 27,238 mm

L = 68,095 mm