Beweis von (e^(In(x)) = x. Ist diese Umformung korrekt?

Question

Ich habe einen Beweis gefunden wie man auf (e^(In(x)) = x kommt, jedoch gibt es einen Schritt der mir nicht gefällt.

In(e) = 1 | * In(x)

In(x) * In(e) = In(x)

In(e^In(x)) = In(x) I / In <--- hier *

(e^In(x)) = x

Genau im Punkt * bin ich mir nicht sicher ob diese Umformung korrekt ist. Es gilt ja In(x), x ∈ ℝ^+.

Danke.

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Teilst du im dritten Schritt lediglich durch \(\ln\)???? Das geht so nicht.

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Ja. Deswegen war ich ja auch stutzig. Wie geht es richtig?

Answer 1

Die e-Funktion und die ln-Funktion sind Umkehrfunktionen. Es gilt

ln(e^x) = x

und

e^(ln(x)) = x für x > 0

Das braucht man theoretisch auch nicht zu beweisen, weil das so definiert ist.

Das ist beim Quadrat und der Wurzel doch so ähnlich

(√x)^2 = √(x^2) = x für x ≥ 0

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Stimmt! Ich wollte halt mal was alleine hinbekommen. Hat nicht so geklappt.

Danke.

Answer 2

$$\alpha=e^{\ln(x)} \quad |\ln(...)$$$$\ln(\alpha)=\ln(x)\cdot \ln(e) \quad |\ln(e):=1$$$$\ln(\alpha)=\ln(x)$$$$\therefore \alpha=x$$$$\blacksquare$$

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Was war zu erst da?

der Logarithmus oder die Logarithmenregeln?

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Vielen Dank.

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Was war zu erst da? Der Logarithmus oder die Logarithmenregeln?

Zeitgleich waren sie da. Alle Logarithmusregeln lassen sich den Potenzregeln ableiten.

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Zeitgleich waren sie da. Alle Logarithmusregeln lassen sich den Potenzregeln ableiten.

Aber nur weil der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist. Deshalb lassen sich die Regeln ableiten.

Das wäre ja nicht möglich gewesen wenn der Logarithmus etwas völlig unabhängiges gewesen wäre.

Answer 3

In(e^In(x)) = In(x) I  Argumente von ln sind gleich, wenn der ln gleich ist. Daher ln weglassen. *

(e^In(x)) = x

* Grund: Logarithmus ist injektiv.

Aber: y =  ln(x) ist üblicherweise als Umkehrfunktion von y = e^x definiert. Daher ist die Umformung schon gemäss Definition richtig.

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Danke. Was wäre denn besser vor dem Operationszeichen zu schreiben? Ich möchte diese Zeilen ungerne löschen.

Answer 4

Hallo

 die Exponentialfunktion ist die Umkehrfunktion von ln und umgekehrt. Da gibt es nichts zu beweisen, auf keinen Fall, indem man durch Funktionssymbole teilt! Du machst sowas wie f(x)=x^2 => x=x^2/f das würdest du wohl nicht?

es ist, als ob du beweisen willst dass (√x)^2=x oder arcsin(sin(x))=x

Gruß lul

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Deswegen habe ich ja gefragt. Das war mir irgendwie auch zu schön um wahr zu sein. Vielen Dank!