Polynominterpolation in Stützstellen

Question

Ich hab hier bei einer Aufgabe 3 Graphen abgebildet die jeweils alle durch die Punkte (1,1), (2,2) und (3,3) gehen.

Einmal eine Gerade durch die Punkte, dann noch 2 Sinusfunktionen mit unterschiedlicher Amplitude. Wie kann ich (pauschal) entscheiden, welche der Graphen zu den Interpolationspolynomen in den Stützstellen gehört ?

Dann habe ich außerdem die Funktion f(x) = $$ 3*\sqrt{3} e^{x/\sqrt{3}}$$ auf dem Intervall von $$- \sqrt{3}$$ bis $$ \sqrt{3}$$

und soll nun alle Interpolationspolynome aus ∏2 angeben bezüglich der Stellen $$- \sqrt{3}$$, 0 und $$ \sqrt{3}$$

Die Funktion kann falsch sein, ich kann es nicht genau lesen, aber wie mache ich sowas in der Theorie ?  Wie gebe ich denn ALLE Interpolationspolynome an. Es steht noch bei, dass eine Darstellung der Form p(x) = a_nxⁿ+....+a₀ nicht nötig ist.

Comments

Könntest du mal die vollständige Aufgabenstellung mitteilen?

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Hab sie nur auf einem Foto vorliegen und das darf ich hier ja nicht hochladen. Es ist recht schwer zu entziffern, deswegen will ich gar keine genaue Anleitung zum lösen DIESER Aufgabe sondern generelle Hinweise.

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Hm... welche Interpolationsverfahren sind dir denn bekannt?

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Lagrange und Neville. Bin leider in Numerik nicht so bewandert, deswegen brauch ich ja so Hilfe :D

Answer 1

welche der Graphen zu den Interpolationspolynomen in den Stützstellen gehört ?

Die zwei Sinusfunktionen sind keine Polynome, also sind es keine Interpolationspolynome.

Die Gerade ist ein Polynom. Sie ist ein Interpolationspolynom, wenn sie an den Stützstellen die vorgegebenen Funktionswerte hat.

und soll nun alle Interpolationspolynome aus ∏2 angeben bezüglich der Stellen

Man stellt dazu ein Gleichungssystem auf. Soll das Polynom p(x) durch die Punkt P_i(x_i | y_i) verlaufen (i = 1, ..., n), dann bekommt man die Gleichungen

        p(x₁) = y₁
        p(x₂) = y₂
        ...
        p(x_n) = y_n

Das Gleichungssystem löst man.

Comments

Also die Funktionen SIND natürlich nicht der Sinus. Aber sie verlaufen eben so. Könnte doch genausogut ein Polynom 3 oder 5 Grades oder so sein oder? Wieso kann ich das einfach so ausschließen?

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Aber sie verlaufen eben so.

Dann sind es Sinusfunktionen.

Könnte doch genausogut ein Polynom 3 oder 5 Grades oder so sein oder?

Das kann ich nicht beurteilen. Ich habe mich vollständig auf deine Ausssage "dann noch 2 Sinusfunktionen mit unterschiedlicher Amplitude" verlassen.

Polynome und Sinusfunktionen kann man anhand des Globalverlaufs unterscheiden.

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Ich darf ja hier leider kein Foto von dem Graphen hochladen. Aber die Funktionen sind durchaus begrenzt. Gibt es sonst noch ein Kriterium anhand dessen ich es beurteilen könnte ?

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Was wäre denn, wenn es es POlynome sind ? Ich glaube nämlich, es ist angedeutet, dass sie außerhalb der Grenzen nicht periodisch weiterverlaufen.