Kann man diese Folge auch als geschlossene Funktion darstellen?

Question

$$f_0 = 20000$$

$$f_1 = 0.7 * f_0 + 15000$$

$$f_2 = 0.7 * f_1 + 15000$$

$$...$$

$$f_t = 0.7 * f_{(t-1)} + 15000 $$

Kann man jetzt eine geschlossene Funktion f(t) oder Reihendarstellung aufstellen, die diese Folge beschreibt ?

Answer 1

Ja,

berechne doch mal \( f_2, f_3 \) explizit. Da erhältst du:

$$ f_2 = 0.7^2  f_0 + 0.7\cdot 15000 + 15000 $$

$$ f_3 = 0.7^3  f_0 + 0.7^2 \cdot 15000 + 0.7\cdot 15000 + 15000 $$

Erkenne:

$$ \begin{aligned} f_n &= 0.7^n  f_0 + \sum_{i=0}^{n-1} 15000 \cdot 0.7^i \\ &= 0.7^n f_0 + 15000 \cdot \sum_{i=0}^{n-1}  0.7^i \\ &= 0.7^n f_0 + 15000 \cdot \frac{1-0.7^n}{1-0.7}\end{aligned}$$

Comments

Recht herzlichen Dank für deine gute Antwort !