Liebe Community!
Bei folgender Aufgabe habe ich große Probleme:
Bestimmen Sie eine Darstellung der Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( a_{n}=\int \limits_{0}^{1} x^{n} \exp (-x) \mathrm{d} x \) (rekursiv oder geschlossen). Bestimmen Sie Weiteres für diese Folge die Grenzwerte (sofern sie existieren) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \) sowie \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(n a_{n}\right) \)
Meine Idee wäre, das Integral zu lösen und das Ergebnis als Gammafunktion darzustellen:
\( \int \limits_{0}^{1} x^{n} e^{-x} d x=\Gamma(n+1)-\Gamma(n+1,1) \quad \forall n : \operatorname{Re}(n)>-1 \)
Daraus kann ich dann durch einsetzen von \( n \) eine rekursive Folge erstellen, ich komme so für beide gesuchte Grenzwerte auf \( - \infty \). Bin hier auf dem richtigen Weg oder ist mein Lösungsansatz so inkorrekt?
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe
