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Aufgabe:

,,Es wird ein Kapital K0 für n Jahre auf eine Bank eingezahlt. Die Bank verzinst dieses Kapital mit einem Zinssatz von 2,6 %. Stelle eine Exponentialfunktion auf und berechne wie viele Jahre das Kapital auf der Bank bleiben muss, damit das Endkapital Kn erreicht ist.''

K0= 6660;  Kn= 7572


Problem/Ansatz:

Dann habe ich die dazugehörige Funktion aufgestellt 
7572 = 6660 * 1,026n
Wie kann ich das hoch n berechnen.

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7572 = 6660 * 1,026n

7572 / 6660 =  1,026n   | Logarithmieren

log(7572 / 6660) = log( 1,026n  )       | Logarithmengesetz

log(7572 / 6660) = n * log( 1,026  )     | : log( 1,026n  )

log(7572 / 6660) / log( 1,026  )    = n

Linke Seite in den Taschenrechner eingeben. n≈4.99996 also n=5

Die beiden Zeilen zwischen den roten Zeilen kann man weglassen, wenn man das Prinzip kennt. 

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7572 = 6660 *1,026n | : 6660

631555 \frac{631}{555} = 1,026n | loga (b)

log1,026  631555 \frac{631}{555} = n

n = 5

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Zeile 3 enthält ein Gleichheitszeichen zu viel. Kannst du noch bearbeiten?

n = 5

n5n\neq 5

log1,026 = 631555\frac{631}{555} = n


Das ist nicht korrekt.

ja da käme 4,9999999 raus :/

Sorry. Du hast das falsche Gleichheitszeichen entfernt. Habe es nun geändert. D.h. Antwort sollte nun stimmen.

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durch logarithmieren kommst du an das "n".

7572=66601.026n75726660=1.026nln(75726660)=nln(1.026)ln(75726660)ln(1.026)=nn57572 = 6660 \cdot 1.026^n \\ \Leftrightarrow \dfrac{7572}{6660}=1.026^n \\ \Leftrightarrow \ln\left(\dfrac{7572}{6660}\right)=n\cdot \ln(1.026) \\ \Leftrightarrow \dfrac{\ln\left(\frac{7572}{6660} \right)}{\ln(1.026)}=n \\ \rightarrow n \approx 5

Es muss somit knapp 5 Jahre auf dem Konto bleiben. Sollte man es ganzjährig angeben, so muss das Ergebnis noch aufgerundet werden. → n = 5.

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