Darstellung von b-adischen Zahlen beweisen

Question

Ich soll 2/3 als b-adische Zahl darstellen, s_a,s_b,s_c ∈ ℤ und  die Folgen an(n=sa bis inf.) ⊂ (0,1), bn(n=s_b bis inf.) ⊂ (0,1,2,3,4) und cn (n = s_c bis inf.) ⊂ (0,1,2,3,4,5,6) finden.

Diese Bedingung soll erfüllt sein und auch bewiesen werden:

sum(n=sa bis inf.): an*2^-n = sum: bn*5^-n = sum: cn*5^-n = 2/3

für an:

2/3 = a_o + (1/2)a₁ + (1/4)a₂ + (1/8)a₃ +... = 0 + 1/2 + 0 +1/8 +0 + ....

Da also das Glied immer null ist wenn gerade kann man das doch nun zusammenfassen als;

sum(k=0 bis inf.): 1*(1/2)^2k+1  aber das wäre dann = 1/1-(1/2)= 2 ≠ 2/3

für bn und cn:

Habe ich es wie oben gemacht konnte aber keine Regelmässigkeit feststellen (ist ja auch fast unmöglich die 7- adische Zahl unter einer grossen Potenz zu untersuchen)

Wie komme ich weiter (bn und cn) resp. was mache ich falsch (an) ?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Darstellung von \( \frac{2}{3} \) als b-adische Zahl

Um \( \frac{2}{3} \) als b-adische Zahl zu beweisen und darzustellen, müssen wir die gegebenen Bedingungen und Folgen untersuchen. Zuerst korrigieren wir die Darstellung für die Folge \(a_n\), und dann gehen wir über zur Findung der Reihen für \(b_n\) und \(c_n\).

Für \(a_n\):

Die Aufgabe gibt die Darstellung:

\( \frac{2}{3} = a_0 + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{4} + \frac{a_3}{8} + \dots \)

Und dann wird ein Vorschlag gemacht:

\( \frac{2}{3} = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{2k+1} \)

Hier wurde ein Fehler gemacht, da diese Reihe tatsächlich folgendermaßen berechnet wird:

\( \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{2k+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} + \dots \)

Dies stellt eine geometrische Reihe mit dem Quotient \( q = \frac{1}{4} \) dar, und ihre Summe kann folgendermaßen berechnet werden:

\( \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{a}{1 - q} \)

wobei \( a = \frac{1}{2} \) (das erste Glied der Reihe) und \( q = \frac{1}{4} \), was uns gibt:

\( \frac{ \frac{1}{2} }{ 1 - \frac{1}{4} } = \frac{ \frac{1}{2} }{ \frac{3}{4} } = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \)

Also ist die ursprüngliche Darstellung mit \(a_n\) korrekt für die Darstellung \( \frac{2}{3} \) in b-adischen Zahlen, wenn \(b = 2\).

Für \(b_n\) und \(c_n\):

Die Herausforderung, \( \frac{2}{3} \) als b-adische Zahl in den Basen 5 und 7 zu repräsentieren, liegt in der unterschiedlichen Basis selbst. Lassen Sie uns zunächst den Ansatz klären:

- Für \(b=5\): Die Folge \(b_n\) soll Werte aus \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\) haben, was bedeutet, dass \( \frac{2}{3} \) in einer Basis-5-Darstellung ausgedrückt werden soll.

- Für \(c=7\): Die Folge \(c_n\) mit Werten aus \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) soll \( \frac{2}{3} \) in der Basis 7 repräsentieren.

Bemerkung:

Die spezifische Konversion von \( \frac{2}{3} \) in die Basis 5 oder 7 erfordert eine systematische Annäherung durch Divisionsmethode oder durch Multiplikation für nicht-ganzzahlige Basen, welche aber hier direkt nicht angewandt wurde. Stattdessen wurde versucht, eine direkte Formel oder regelmäßige Muster für die Umrechnung zu finden, was in Basen ungleich 10 oder 2 oft nicht intuitiv ist.

Die tatsächliche Umrechnung für Basen 5 und 7 würde eine fortgesetzte Multiplikation von \( \frac{2}{3} \) mit der Basis (5 bzw. 7) und die Extraktion der ganzen Zahlen aus jedem Produkt umfassen, um die Ziffern der b-adischen Darstellung zu erhalten.

Schlussfolgerung:

Für die spezifische Umwandlung und Beweisführung sind Programmierkenntnisse oder algorithmische Verfahren oft der effizienteste Weg, um eine genaue Darstellung in bestimmten basierten Systemen zu finden, vor allem, wenn es um Fraktionen in Basen ungleich 10 oder 2 geht. Die direkte Berechnung ohne spezifische Methoden oder Tools kann hier nicht zufriedenstellend gelöst werden, besonders für \(b_n\) und \(c_n\) ohne den Prozess der fortgesetzten Multiplikation oder einer anderen systematischen Annäherung.