Komplexe Zahl umwandeln

Question

Ziel ist es die folgenden komplexen Zahlen in der Form a+bi, mit a und reellen Zahlen, darzustellen.

$$\left. \begin{array} { l } { ( 1 + i ) ^ { n } + ( 1 - i ) ^ { n } } \\ { ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } i ) ^ { n } } \\ { \sum \limits _ { k = 0 } ^ { n } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } i ) } \end{array} \right.$$

Answer 1

möglicherweise ließe sich die Aufgabe wie folgt lösen.

Comments

Sehr guter Tipp. Mit der Umformung werden die Aufgaben zum Kinderspiel.

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Super, vielen Dank. So kann man die erste Aufgabe ja auch einfach lösen.

Nur wie mache ich das bei der Summe? Da wäre eine Fallunterscheidung ja nicht möglich.

Answer 2

c) ist noch offen.

Die Umwandlung aus der andern Lösung

Heissen die Summanden a_k = cos(k*60) + i sin(k*60)

Das sind 6 Zeiger auf dem Einheitskreis, die zyklisch wiederholt werden.

Die Summe von jeweils 6 dieser Zeiger gibt aus Symmetriegründen 0.

Also ist für n=5,11,17,…(allg. 6m-1) die Summe 0

Du musst somit nur noch 5 Summen berechnen.

Für n=0, 6,12,…  6m ist die Summe 1

Für n=1,7,13,…         ist die Summe 1 + 1/2 + W3/2 i    = 1.5 + W3/2 i            |W3 steht für Wurzel aus 3

Für n=2,8,14,…          ist die Summe 1 + 1/2 + W3/2 i - 1/2 + W3/2 i = 1 + W3 i

Für n = 3,9,15,…          ist die Summe 1 + 1/2 + W3/2 i - 1/2 + W3/2 i -1 = W3 i

Für n= 4,10,16,…          ist die Summe 1 + 1/2 + W3/2 i - 1/2 + W3/2 i - 1 - 1/2 - W3/2 i = - 1/2 + W3/2 i

Probe

Für n= 5, 11, 17…              ist die Summe 1 + 1/2 + W3/2 i - 1/2 + W3/2 i - 1 - 1/2 - W3/2 i + 1/2 - W3/2 i = 0 ok.