Vereinfache so weit wie möglich (Variablen)

Question

Aufgabe:

6. Vereinfachen Sie soweit wie möglich.

a) \( 2 a\left(\frac{3}{a}-\frac{6}{4 a}\right) \)
b) \( \frac{x}{y}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right) \)
c) \( \left(\frac{7}{a}-\frac{9}{a^{2}}\right): \frac{1}{a} \)
d) \( \frac{u}{3}+\frac{u}{6} \cdot \frac{3}{v} \)
e) \( \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right) \) f) \( \left(\frac{x+y}{x}+\frac{2}{y}\right): \frac{2}{3 x y} \)
g) \( \frac{a-3 b}{2 c} \cdot \frac{7}{4 a}+\frac{3 a b}{c} \) 

Wie funktioniert das? Das sind ja zum Teil fast immer die selben Rechenwege oder?

Nummer 1 hatte irgendwie die selbe Fragestellung, schaut:

1. Vereinfachen Sie.
a) \( 7 a-2 b-9 c+(5 a+7 c-9 b) \)
b) \( 3 x+2 y-9 z-(7 y+8 x-6 z) \) c) \( -(a-4 b)-(7 a+4 b) \)
d) \( 7\left(x^{2}-y\right)-3 x^{2}+7 y \)
e) \( \frac{1}{3}(6 m-9)-6 m+9 \)
f) \( \frac{2}{5} a\left(a-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{5} \)
g) \( 6 a(-z-4)+2 a z \)
h) \( 8(u+2 v)-2(u-2 v) \)
i) \( 12(m-n)-6(n-m) \)

Da habe ich bei a) z.B. gerechnet:

7a + 5a

-2b - 9b

-9c + 7c

Also immer die gleichen Buchstaben zusammen und wenn ein - vor der Klammer war habe

ich bei den Zahlen in der Klammer vorher noch das Vorzeichen getauscht.

Das habe ich dann alles zusammen aufgeschrieben.

Aber trotz der selben bzw. fast selben Aufgabenstellung verstehe ich einfach gar nichts von Nummer 6.

Answer 1

 

 

die Aufgabe 1) hast Du richtig behandelt. 

Aufgabe 6 geht prinzipiell genauso, allerdings ist es hier etwas aufwändiger, weil wir Brüche gegeben haben: 

 

6a)

2a * (3/a - 6/4a) | Alles innerhalb der Klammer mit 2a multiplizieren

2a * 3/a - 2a * 6/4a

6 - 12/4

6 - 3

3

 

6b)

x/y * (1/x + 2/y) | Wieder alles innerhalb der Klammer mit x/y multiplizieren

x/y * 1/x + x/y * 2/y

1/y + 2x/y²

 

6c)

(7/a - 9/a²) : 1/a

Durch einen Bruch wird geteilt, indem man mit dem Kehrwert multipliziert, also

(7/a - 9/a²) * a/1 | Wieder alles innerhalb der Klammer mit a multiplizieren

7 - 9/a

 

6d)

u/3 + u/6 * 3/v | Punktrechnung vor Strichrechnung, also zuerst multiplizieren

u/3 + 3u/(6v) | Beide Brüche auf gemeinsamen Nenner 3 * 6v bringen

(u * 6v) / (3*6v) + (3u * 3) / (3*6v) | Zähler addieren

(6uv + 9u) / (3*6v) | Kürzen: Zähler und Nenner durch 3 teilen

(2uv + 3u) / (6v) 

Weiteres Vereinfachen geht nicht. 

 

6e)

(1/a + 1/b) * (a/2 + b/2) | Brüche innerhalb der ersten Klammer auf den gemeinsamen Nenner a*b bringen

(b/(a*b) + a/(a*b)) * (a/2 + b/2)

((a+b)/(a*b)) * ((a+b)/2) | Zähler mit Zähler multiplizieren, Nenner mit Nenner multiplizieren

(a+b)² / (2 * (a+b)) | Kürzen: Zähler und Nenner durch (a+b) teilen

(a+b)/2

 

f) und g) probierst Du bitte einmal selbst :-)

 

Besten Gruß

Comments

Ich bin gerade dabei 6d selber zu rechnen, den zweiten Schritt verstehe ich nicht ganz.


u/3 + 3u/(6v) | Beide Brüche auf gemeinsamen Nenner 3 * 6v bringen


Der Nenner steht ja unten.

Was hast Du da genau gemacht um auf (u * 6v) / (3*6v) + (3u * 3) / (3*6v) zu kommen?

---

Wenn der Nenner gleich sein soll muss ich ja die 3 auf 6v bringen mit *2v

Oben das u dann aber auch *2v rechnen stimmts?


u * 2v = 2uv

Sehe bei dir aber nirgendwo ein 2uv :(

---

Wir haben ja zwei verschiedene Nenner, nämlich einmal 3, das andere Mal 6v.
Damit wir die beiden Brüche addieren können, müssen wir aber gleiche Nenner haben.
Deshalb habe ich die beiden Brüche auf den gleichen Nenner 3 * 6v gebracht (ich hätte auch 6v nehmen können, das spielt aber keine Rolle).
Weil im ersten Bruch schon 3 im Nenner stand, musste ich diesen mit 6v multiplizieren; wenn ich das tue, muss ich aber auch den Zähler mit 6v multiplizieren, um den Wert des Bruchs nicht zu verändern.
So wurde aus

u/3

(u * 6v) / (3 * 6v)

Beim zweiten Bruch stand schon 6v im Nenner, aber nicht 3*6v. Deshalb musste ich hier Zähler und Nenner mit 3 multiplizieren.

So wurde aus
3u/(6v)

(3u * 3) / (6v * 3)

---

Kannst Du den Schritt bitte mal auf 6v bringen?


Also nicht 3*6v? Wir haben das erweitern immer nur mit 1 Zahl gemacht

Würde das auch stimmen? :

2uv/6v + 3u/6v

Nun wäre der Nenner ja gleich und ich habe im ersten Bruch Zähler und Nenner jeweils mit *2v gerechnet, geht das auch?

Wenn ich nun weiterrechne bei 2uv/6v + 3u/6v  | Zähler addieren: (2uv + 3u)

5u²v/6v

Würde das bis dahin stimmen? Falls ja, wie geht es dann weiter? Ist ja nun nur noch 1 Schritt oder?

---

Der Schritt von  

u/3 + 3u/(6v) 

nach

2uv/(6v) + 3u/(6v)

ist absolut richtig - gut gemacht!

Aber die Addition der Zähler 2uv und 3u ergibt 2uv + 3u.

Beachte: Die Zähler werden addiert, nicht multipliziert, deshalb hat u² hier nicht zu suchen :-)

Wir erhalten also 

(2uv + 3u) / (6v)

Das Einzige, was man jetzt noch machen könnte, wäre im Zähler u auszuklammern: 

u * (2v + 3) / (6v)

---

Danke für deine Hilfe :-)


Wie bist Du auf das u * (2v + 3) / (6v) gekommen? Das steht doch noch wie vorher in Klammern?

2uv + 3u / 6v

Da geht doch eigtl. nichts mehr zu kürzen?

---

Da geht nichts mehr zu kürzen - richtig!

Ich habe auch nicht gekürzt, sondern nur den Zähler in einer anderen Form geschrieben:
2uv + 3u =

u * 2v + u * 3 | Jetzt klammere ich das u aus und erhalte

u * (2v + 3)

Zur Probe kannst Du ja ausmultiplizieren:
u * 2v + u * 3 = 2uv + 3u

Einverstanden?

Answer 2

Hi,

nehmen wir beispielsweise die 6b)

Einfach mal "ganz normal" ausmultiplizieren:

$$\frac xy\left(\frac1x+\frac2y\right) = \frac xy\cdot\frac1x + \frac xy\cdot\frac2y = \frac1y + \frac{2x}{y^2}$$

So, oder ähnlich funktioniert das für die meisten. Lass Dich von den Brüchen nicht verschrecken. Übrigens: Bei einer Division funktioniert das so, dass Du mit dem Kehrbruch multiplizierst! ;)

Aufgabe 1)

Ich denke hier muss ich nichts mehr sagen. Das wichtigste (Minusklammer auflösen und nur gleiche Variablen verrechnen) hast Du ja genannt.

Grüße

Comments

Bei x/y * 1/x das x wegkürzen stimmts? Hätte ich mit deiner Lösung den Punkt erhalten, also ist es so weit wie möglich vereinfacht?

 

Kannst Du mir mal bitte sagen ob ich d) richtig mache?

 

 

Bestimmt falsch oder?

 

Kann man überhaupt Zahlen also die 3 wegkürzen weil die ja 1x oben und 1x unten ist nach dem = ?

 

Und kann ich das so rechnen wie oben auch wenn keine Klammer am Anfang ist?

---

Vorsicht! Diesmal hast Du keine Klammer. Du beachtest also nur den zweiten Summanden für sich und den ersten Summanden für sich. Das hast Du ja selbst erkannt ;):

Und kann ich das so rechnen wie oben auch wenn keine Klammer am Anfang ist?

 

$$\frac u3 + \frac u6\cdot\frac3v = \frac u3 + \frac{u}{2v} $$

Nun brauchen wir nen gemeinsamen Nenner wegen der Addition. Dieser ist 3*2v

$$\frac{2uv}{6v}\cdot\frac{3u}{6v} = \frac{2uv+3u}{6v}$$

 

Alles klar? Ich hoffe Du konntest folgen ;).

 

Bei x/y * 1/x das x wegkürzen stimmts? Hätte ich mit deiner Lösung den Punkt erhalten, also ist es so weit wie möglich vereinfacht?

So ist es

---

@ Unknown:

u/3 + u/(2v) | Gemeinsamer Nenner 6v

(u*2v)/(3*2v) + (u*3)/(2v*3) =

2uv/(6v) + 3u/(6v) =

(2uv + 3u) / (6v)
Oder?

---

Kein Thema :-)