a) Hier musst du prüfen, ob gilt:
Für alle x∈ℚ gilt xRx
Dazu ist zu überlegen: x*x ist das Quadrat einer rationalen Zahl
Das stimmt offenbar, weil x*x = x^2 .
b) Hier musst du prüfen, ob gilt: Für alle x,y∈ℚ gilt
xRy ==> yRx
Dazu ist zu überlegen:
Wenn x*y das Quadrat einer rationalen Zahl ist, ist es
dann auch y*x. Das stimmt offenbar, weil x*y = y*x .
c) Hier musst du prüfen, ob gilt: Für alle x,y,z ∈ℚ gilt
xRy und yRz ==> xRz .
Dazu ist zu überlegen:
Ist x*y ist das Quadrat einer rationalen Zahl und yz auch ,
also gibt es p,q ∈ℚ mit x*y=p^2 und y*z=q^2
Gilt dann auch, dass es ein r ∈ℚ gibt mit x*z = r^2 ?
Etwas rechnen zeigt :
x*y=p^2 und y*z=q^2
==> (x*y)*(y*z)=p^2 *q^2
==> x*z *y^2 = (p*q) ^2
==> x*z = (p*q/y)^2
ABER hier hakt es ! Falls y=0 ist, kann man nicht durch y dividieren
und in der Tat ist ja etwa √2 * 0 = 0 das Quadrat einer rat. Zahl
und 0*√3 auch, aber √2 * √3 nicht !
Also ist die Rel. nicht transitiv !