Standard Kanonische Basen R3->R4 bestimmen

Question

Hallo liebe Leute,

ich hätte da eine Frage

dies ist die Angabe zur einem bsp einer musterklausur:

Gegeben ist die Lineare Abbildung g : R3 →R4 definiert durch

g= (x,y,z)= \( \begin{pmatrix} 2x  -y + z \\  x +y  \\ x-2y+z \\ 0 \end{pmatrix} \)

1.)Bestimmen Sie die bezüglich der Standardbasis (kanonischen Basis) darstellende Matrix der Abbildung g.

2.)Bestimmen Sie basis und dimension von kern g.

3.) Bestimmen Sie die Dimension von Bild g.

Ich bin  mir nicht bei der ersten aufgabe sicher.

Bin mir nicht sicher wie die matrix ausschauen sollte.

soll die matrix so ausschauen?

\( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0  \\ 1 & -2 & 1  \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Ich hab die matrix auf gausstufen form gebracht und bekomme dieses ergebnis.

1 0 1/3

0 1 -1/3

0 0 0

0 0 0

Ich nimm an dass die dimension des kernes g 1 ist , da x3 die freie variable ist.

also ist die basis des bildes von A (\( \begin{pmatrix} 1&  \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Bin ich auf den richtigen weg?

Answer 1

Hallo

 die Matrix ist richtig, Kern dim 1 richtig, aber das ist keine Begründung, du könntest ja auch x1 oder x2 frei wählen, , wenn der Kern 1d ist kann das Bild nicht 1d sein, dein Vektor ist weder Basis des Bildes, noch des Kerns. Warum rechnest du für den Kern das GS nicht aus?

Gruß lul

Comments

du könntest ja auch x1 oder x2 frei wählen

ich bin jetzt ein bisschen verwirrt.

x1 und x2 sind ja abhängige variablen , die kann ich ja nicht frei wählen.

hab gedacht wenn die dimison 1 ist , dann muss das bild 1 dimesional sein

Warum rechnest du für den Kern das GS nicht aus?

Will ich dann machen aber wollte halt sicher gehen dass ich auf dem richtigen weg bin.

---

Hallo

 du sagst der Kern hat dim 1 , gibst aber dann keine Basis des Kerns an, sondern eine des Bildes. was du angibst ist aber auch keine Basis des Kerns.

x1,x2,x3 sind die Komponente des abgebildeten Vektors. die kannst du natürlich Variable nennen

 du hast ein Gl x1*0+x2*0+x3*0=0 und 2 weitere Gl mit den 3 "Variablen" warum sollte eine bevorzugt sein. setze x3=r dann folgt x1=-1/3r, x2=1/3r der Lösungsvektor also r*(-1/3,1/3,1)

setze x1=s dann ist x3=-3s, x2=-s

 also der Lösungsvektor s*(1,-1,-3)=r*(-1/3,1/3,1) wenn du r=3s nimmst.

jetzt du, wenn du x2=t setzt!

Gruß lul

---

danke für deine Antwort .

Ich habs jetzt so gemacht.

Basis des bildes =( \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1  \\ 0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2  \\ 0 \end{pmatrix} \)) Dimension 2 da der Rang der matrix in gaustufenform auch 2 ist.

Kern dimension = 1

und dann ist jetzt basis  des kerns  t*( \( \begin{pmatrix} -1/3 \\ 1/3 \\ 1  \\ 1 \end{pmatrix} \)

für t = 1

Ich hoffe es passt jetzt so

eine frage noch wieso nur x1 bis x3 ?

Wir haben ja vier spalten oder stehe ich jetzt komplet an der Leitung?