Wie berechnet man 2D Koordinaten von Punkten, die auf einer Ebene im 3D Raum liegen?

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Ebene im Raum:

a: 15x + 17y + 50z = 0

Auf dieser Ebene habe ich n-viele Punkte, hier:

A (-6 | 3.33 | 0.67)

B (4 | 3.33 | -2.33)

C (2 | -6.67 | 1.67)

Nun muss ich diese Punkte darstellen, als wäre die Ebene ein 2D Koordinatensystem.

Ich habe bereits versucht die Z-Achse weg zu lassen aber das stieß auf Verzerren der Punkte und ihre Relation zueinander.

,

Raptor

Answer 1

Du wandelst die Normalenform der Ebene in eine Parameterform.

E: x = r v1 + s v2

A = r v1 + s v2

(r,s) sind 2D koordinaten bezüglich v1,v2 als Basis der Ebene E

Comments

Wenn ich mich nicht verrechnet habe müsste dabei doch

$$ r \left( \begin{array}{c}{1} \\ {0} \\ {-0.3}\end{array}\right)+s \left( \begin{array}{c}{0} \\ {1} \\ {-0,34}\end{array}\right) $$

rauskommen?

Und das ist im Umkehrschluss das selbe, als würde ich einfach die Z-Achse weg lassen, was mir nach meinen bissherigen Versuchen fehlerhaft erscheint.

---

Um es unverzerrt zu bekommen: Du musst die beiden Spannvektoren so wählen, dass sie aufeinander senkrecht stehen UND beide den gleichen Betrag haben.

Dein erster Vektor ist gut (ich hätte eher ganzzahlig (10/0/-3) genommen, der zweite müsste (als Vektorprodukt von diesem und dem Normalenvektor)

(51/-545/-170) sein. Nun musst du noch diese beiden Vektoren normieren, damit sie beide den Betrag 1 haben.

---

Na ja, das kommt darauf an von wo aus man draufschaut. Die Punkte bleiben ja da wo sie sind - nur das Koordinatensystem wechselt...

Deine Ebene liegt schräg. Ich hab mal eine orthonormal Basis aus den Vektoren gemacht. Die Ebene lautet dann auf

\(\small Ev(r, s) \, :=  \, \left( \begin{array}{r}0.958 \; r + 0.089 \; s\\-0.951 \; s\\ -0.287 \; r + 0.297 \; s\\ \end{array} \right) \)

v1 normiert und v2 rechtwinklig dazu gewählt.

Damit heißt die Transformationsmatrix

\(T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}0.958&0&-0.287\\0.089&-0.951&0.297\\\end{array}\right)\)

und die Koordinaten von A in der Ebene E lauten dann

\(T A \, := A_v = \, \left(-5.939, -3.506 \right)\)

---

Danke abaskus! Das Senkrecht stellen und auf 1 bringen hab ich an der Stelle komplett vergessen. Ich war schon wieder von den schönen '1'en im Vektor geblendet.

Danke wächter! Ergebnisse stimmen mit abaskus Lösung überein und das Dreieck stimmt mit dem auf der Ebene überein. Ich muss mich nur in das Verfahren noch ein bisschen einlesen, ich kriege das noch nicht 100% mitverfolgt. (Edit, hab es kapiert.)

---

Danke für die Punkte, vielleicht unterstützt das die Anschauung

https://ggbm.at/fbtmeywn

Answer 2

Voraussetzung: Die n Punkte liegen tatsächlich in der gleichen Ebene.

Du kannst immer 3 Punkte zusammen als Dreieck auffassen.

Von diesem Dreieck alle Seitenlängen (3D-Pythagoras) ausrechnen und so die Dreiecke zeichnen.

Dann einen weiteren Punkt zu den gegebenen Punkten hinzunehmen

Comments

Gute Idee, aber ich hoffe auf eine etwas elegantere Lösung