WIe kann ich Koordinaten von Eckpunkten angeben?

Question

Die Aufgabe lautet: Eine quadratische Pyramide mit der Grundfläche ABCD hat die Höhe h. Die Grundfläche liegt in der x1x2 Ebene, und ihre Diagonale sind parallel zu den Koordinatenachsen.

Gegeben: A(0/0/0), C (0/4/0)

Wie kann ich jetzt die Koordinaten der restlichen Eckpunkte berechnen?

Answer 1

Es hilft denke ich das Quadrat in 2 bzw. 4 rechtwinklige Dreiecke zu zerteilen.

Für das Quadrat gilt: die Länge der Diagonalen beträgt jeweils 4LE. Somit haben die Seiten jeweils eine Länge von \(a:= 2\sqrt{2}\) LE.

Somit wäre z.B. die Länge der Strecke [AB] = a

Nach dem Satz des Pythagoras gilt folglich für die Länge der Strecke [MB]: \(x=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-2^2}=2\)

Hier noch einmal grafisch.

Die Eckpunkte haben somit die Koordinaten:

B(0+2|0+2|0) = B(2|2|0), D(0-2|0+2|0) = D(-2|2|0)

Comments

  vielen Dank für ihre Antwort :) eine Frage hätte ich noch: wie kamen sie auf 2√2?

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Auch mit dem Satz des Pythagoras: \(|AC|=\sqrt{|AB|^2+|BC|^2}\), da jedoch \(|AB|=|BC|\) können wir zu

 \(|AC|=\sqrt{2|AB|^2}\) vereinfachen. Eingesetzt ( |AC|=4) und umgestellt (sei |AB| = x, erhalten wir \(4=\sqrt{2x^2} \Leftrightarrow 16=2x^2 \Leftrightarrow 8=x^2 \rightarrow x=\pm 2\sqrt{2}\)

Dies gilt für alle Seitenlängen, da ein Quadrat vorliegt.

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Ein für meine Begriffe überflüssiger Weg, der durch seine Kompliziertheit eher verwirrt als erleuchtet.

Im Quadrat halbieren sich die Diagonalen und stehen aufeinander senkrecht.

Der Mittelpunkt M von AC ist (0|2|0), und A und C liegen somit zwei Einheiten "links" und "rechts" von M.

Da AC in Richtung der x₂-Achse verläuft und sich alles in der x₁-x₂-Ebene abspielt, muss die andere Diagonale BD in x₁-Richtung verlaufen, wobei B und D jeweils ebenfalls 2 Einheiten von M entfernt sind. Somit haben B und D die selbe x₂-Koordinate wie M, und ihre x₁-Koordinate ist um 2 größer bzw. um 2  kleiner als die von M.

M war (0|2|0),, deshalb ist  B(2|2|0), und D(-2|2|0),