Quadratische Pyramide berechnen aus Oberfläche 171m² und Grundfläche 81m²

Question

Eine Pyramide hat eine Oberfläche von 171 m². Die quadratische Grundfläche ist 81 m² groß. Bestimme zuerst die Kantenlänge der Grundfläche, dann die Höhe der Seitenflächen und die Höhe der Pyramide, dann ihr Volumen.

In der Lösung steht:

a=9 m

M= 171-81=90

9*ha

ha=5m

h²=ha²-4,5²

h=2,18m

V=58,86cm³

Kann mir jemand erklären wie ich auf all das hier komme?

Answer 1

1.) Kantenlänge der Grundfläche

Für die Grundfläche gilt: G = a², also a=√G

Mit G=81m² folgt also:
a = √(81m²) = 9m

 

2.) Höhe der Seitenfläche

Für den Flächeninhalt der ganzen Pyramide gilt:

O = G+M, bei bekannter Grundfläche G gilt also für die Mantelfläche:

M = O-G = 171m² - 81m² = 90m²

Für den Flächeninhalt des Mantels gilt außerdem:
M = 4*(a*h_a)/2

h_a = M/(2a)

h_a = 90m²/(2*9m)

h_a = 5m

3.) Höhe der Pyramide

Betrachtet man den Querschnitt der Pyramide, dann bilden Höhe und die halbe Grundseite a/2 einen rechten Winkel, also zusätzlich mit h_a ein rechtwinkliges Dreieck.

Darin gilt der Satz des Pythagoras:
(a/2)² + h² = h_a²

h² = (5m)² - (4,5m)²

h² = 4,75m²

h = √4,75m² ≈ 2,18m

 

4.) Volumen der Pyramide

Für das Volumen gilt: V = 1/3 * a²h ≈ 1/3*81m²*2,18m = 58,85m³

Comments

eins verstehe ich nicht bei der höhe der seitenfläche erst sagst du: Für den Flächeninhalt des Mantels gilt außerdem:
M = 4*(a*h_a)/2 aber dann machst du mit h_a = M/(2a) weiter?

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Okay, das war vielleicht zuviel auf einmal:

M = 4*(a*h_a)/2

Einmal mit 2 kürzen:

M = 2*a*h_a |:(2a)

h_a = M/(2a)

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Julian als ich deine komplette Rechnung gesehen hatte wollte ich aufgeben. Hätt nie gedacht dass Mathe in der 10 ten schon so schwer ist, aber dann wurde mir klar übung macht den Meister. Nur warum mit 2a kürzen?

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Ich versuche da ja h_a herauszufinden.

Deswegen muss ich zu einer Gleichung kommen, bei der auf der einen Seite nur noch h_a steht. Das erreiche ich in dem Fall, indem ich beide Seiten der Gleichung durch 2a teile.

 

Vielleicht hilft dir da nochmal das Video zur Äquivalenzumformung weiter:

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=OF2AZX9Dl08

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Du meinst nach ha auflösen ja?

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Ja, genau.

Ich hab in der Lösung übrigens immer so lange wie möglich mit den Buchstaben gearbeitet und die Zahlen erst ganz am Ende eingesetzt.

Das ist so üblich, allerdings wird dein Lehrer dir vermutlich auch nicht böse sein, wenn du schon früher Zahlenwerte einsetzt, um besseren Überblick zu behalten.