Lineares Gleichungssystem hat genau dann eine Lösung (x, y) ≠ (0, 0) hat, wenn ad - bc = 0 ist. Beweis?

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem

ax + by = 0

cx + dy = 0

genau dann eine Lösung (x, y) ≠ (0, 0) hat, wenn ad - bc = 0 ist.

Problem/Ansatz:

Wie kann man das am besten zeigen?

Das Gleichungssystem muesste ja unendlich viel Lösungen haben.

Comments

genau dann eine Lösung (x, y) ≠ (0, 0) hat, wenn ad - bc = 0 ist.

Hast du das exakt abgeschrieben?

Das Gleichungssystem muesste ja unendlich viel Lösungen haben.

Sehe ich auch so. Die Lösung (x, y) = (0, 0) ist zwingend vorhanden. Die zusätzliche Lösung (x, y) ≠ (0, 0) eine weitere. Beide Punkte verbinden: Alle Punkte auf der Verbindungsgeraden sind auch Lösungen. (Ist natürlich an dieser Stelle noch kein Beweis).

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Bei linearen Gleichungssystemen gibt es im

Prinzip immer drei Fälle:

genau eine Lösung

gar keine Lösung

unendlich viele Lösungen

Hier kann Fall2 nicht auftreten, da homogenes System, hat immer

die Lösung (0;0).

Also ist hier:  Eine von (0;0) verschiedene

Lösung ist genau dann vorhanden, wenn es unendlich viele gibt.

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Ja hab ich genau so abgeschrieben! Ganz verstehen ich es noch nicht wie ich das zeigen soll^^

Answer 1

ax + by = 0    | * (-c)
cx + dy = 0    |  * a

------------------------

-acx  - bcy = 0    
 acx   +ady = 0    beide addieren

bcy - ady = 0

(-bc+ad) * y = 0

Wenn die Klammer 0 ist gibt es

für y Lösungen ungleich 0.

Entsprechend für x wenn du anfangs d

und -b multiplizierst.