Hallo Amsi,
wenn Du gar nicht weiter weißt, so setzte doch für \(n\) ein paar Zahlen ein, und schaue was da raus kommt:$$\begin{array}{r|r} n & n^2+7n+1\\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 9 \\ 2 & 19 \\ 3 & 31 \\ 4 & 45 \end{array}$$also für \(n=0\) und \(n=1\) ist der Ausdruck eine Quadratzahl. Die Frage ist, ob das die einzigen sind ... Versuche mal ein paar negative Zahlen.
Modularrechnung ist ein guter Tipp. Die einzige Zahl, die hier auftaucht ist die \(7\). Also ist$$\begin{aligned} n^2 + 7n +1 &\equiv m^2 \mod 7 \\ n^2 + 1 &\equiv m^2 \mod 7\end{aligned}$$Schaut man sich die Reste der Quadratzahlen nach Division durch 7 an, so gibt es nur die Zahlen \(0, \, 1,\, 2\) und \(4\). Es kommen also nur Zahlen \(n\) und \(m\) in Betracht, für die gilt$$n^2 \equiv 0 \space \cap \space m^2 \equiv 1 \mod 7$$ oder $$n^2 \equiv 1 \space \cap \space m^2 \equiv 2 \mod 7$$Im ersten Fall ist \(n=7r\) und \(m=7s+1 \cup m=7s+6\) mit \(r, \, s \in \mathbb{Z}\). Einsetzen gibt$$\begin{aligned}49 r^2 + 49 r + 1 &= 49 s^2 + 14 s + 1 \\ 7r^2 + 7 r &= 7s^2 + 2s \end{aligned}$$Offensichtlich geht das nur auf, wenn \(s\) durch \(7\) teilbar ist. Bzw. $$\begin{aligned}49 r^2 + 49 r + 1 &= 49 s^2 + 84 s + 36 \\ 7r^2 + 7 r &= 7s^2 + 12s + 5 \end{aligned}$$ Hmmm .. ? Ich denke weiter nach.
Gruß Werner
