Untersuche, folgende Relation auf Eigenschaften: X= Natürliche Zahlen; mRn <=> ggT(m,n) = 5

Question

Aufgabe:

X=Natürliche Zahlen; mRn <=> ggt(m,n) = 5

Untersuche auf : Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich hier die Eigenschaften prüfen soll. Mein Ansatz war so:

Reflexiv: Nein, weil ggt(m,m) = m und nur im Falle wenn m = 5 ist auch 5.

Symmetrisch, Ja weil wenn der ggT(m,n) = 5 dann ist auch der ggT(n,m) = 5

Antisymmetrisch: Nein weil wenn der ggT(m,n) = 5 und der ggT(n,m) = 5 bedeutet das nicht dass der m = n zb ggT(5,25)

Transitiv: JA weil wenn der ggt(m,n) = 5 und der ggt(n,o) = 5 => ggt(m,o) = 5 Bsp ggT(5,25) = 5 und ggT(25,30) = 5 => ggt(5,30) = 5.

Bin mir aber nicht sicher ob das stimmt, besonders bei der Reflexivität.

:)

Answer 1

Das ist doch alles prima, auch die Reflexivität. Da könnte man sogar ganz

konkret ein Gegenbeispiel geben, etwa so  :

nicht reflexiv, weil z.B.  3R3 nicht gilt, weil  ggT(3,3) = 3 ≠ 5

Comments

Danke für deine Antwort, hab mir noch weiter Gedanken über die Problemstellung gemacht.

Ist die Relation wirklich Transitiv. Bei meinem genannten Beispiel mit ggT(5,25) = 5 und ggT(25,30) = 5 => ggt(5,30) = 5.  funktioniert zwar, aber beim Beispiel von ggt(15,5) = 5; ggt (5,30) = 5 ABER ggt(15,30) = 15;

Also wäre die Relation nicht Transitiv oder hab ich da was falsch verstanden?

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Du hast recht. Dein erstes Beispiel hatte mich

wohl auch etwas vorschnell überzeugt.

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Dankeschön :)