Aufgabe:
… Bestimme alle Untergruppen von Z bzgl. der Addition.
Die Lösung hatte ich Intuitiv richtig "erraten", jedoch wusste ich nicht wie ich sie beweisen kann.
Beim nachschauen der Lösung war mir ein Schritt nicht ganz schlüssig. (siehe roten Teil in der Lösung)
Lösung:
(1) Offenbar sind {0} und Z zwei Untergruppen von Z bzgl. der Addition.
(2)
Sei U ≠ {0} eine nichttriviale Untergruppe von Z. Dann existiert eine Zahl n ∈ U mit n ≠ 0.
Da U eine Untergruppe ist, folgt −n ∈ U und 0 = n + (−n) ∈ U.
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass n ∈ N+ positiv ist.
Unter allen Zahlen n ∈ N+ ∩ U wählen wir die kleinste. Folglich haben wir nk ∈ U für alle k ∈ Z.
Somit ist nZ ⊆ U. Jetzt zeigen wir, dass U = nZ gilt.
Angenommen, es gibt ein Element m ∈ U \ nZ. Dann ist −m ∈ U \ nZ, so können wir m > 0 annehmen.
Mittels Division mit Rest durch n können wir m = qn + r schreiben mit q ∈ N und 0 ≤ r < n.
Falls r = 0 gilt, erhalten wir m = qn ∈ nZ, im Widerspruch zur Annahme.
Somit gilt 0 < r < n.
Nun folgt r = m− qn ∈ N+ ∩U, also ist n nicht die kleinste natürliche Zahl in U, und somit ein Widerspruch.
Damit muss U \ nZ = ∅ gelten, und folglich ist U = nZ.
Problem/Ansatz:
… Kann mir jemand erläutern warum nk ∈ U ist? Genau genommen steige ich an dem Punkt schon aus, an dem man die kleinste Zahl von n ∈ N+ ∩ U wählen soll.
Warum ist nk in meinen Augen nicht unbedingt ∈ U?
Bis an den Punkt wissen wir über U doch nur, dass es eine Menge ist, welche die Elemente 0 (neutrale Element), n und -n enthält. Wenn ich nun mit einer beliebigen ganzen Zahl multipliziere könnte ich doch "übers Ziel" hinausschießen und wäre nicht mehr in der Untergruppe? (Verletzung der Abgeschlossenheit)
Wäre super wenn mir jemand den Beweis genauer erklären könnte :)
Liebe Grüße,
Dari
