Aufgabe:
Bestimme alle \( p \)-Sylow-Untergruppen von \( \mathbb{Z} / 509796 \mathbb{Z}=\mathbb{Z} /(21 \cdot 12 \cdot 2023) \mathbb{Z} \).
Problem/Ansatz:
Hallo zusammen,
Ich bin mir noch nicht ganz sicher, ob ich das mit den \( p \)-Sylow-Untergruppen so richtig verstanden habe.
Es gilt ja folgendes: Sei \( p \) eine Primzahl und \( p^{k} \) für ein \( k \in \mathbb{N} \) ein Teiler von \( |G| \), dann besitzt \( G \) eine Untergruppe der Ordnung \( p^{k} \) und insbesondere hat \( G \) eine p-Sylow-Untergruppe.
Die PFZ lautet ja: \( 509796=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 17 \)
Das weitere Vorgehen verstehe ich noch nicht ganz - Die Ordnung von \( G \) wird doch durch die Anzahl der p-Sylow-Untergruppen geteilt. Diese ist \( \equiv 1(\bmod p) \).
Wäre dann die Anzahl der 2-Sylow-Untergruppen 1 oder 4 (modulo 2 )? - Wenn ja würde ich da \( \langle 127449\rangle=\{0,127449,254898,382347\}+ \) \( 509796 \mathbb{Z} \) herausbekommen?
Das müsse dann ja für alle \( p \)-Sylow-Untergruppen äquivalent gehen?
LG Euler
