Anzahl von p-Sylow-untergruppen bestimmen - Verständnisproblem

Question

wir haben letzte Woche mit p-Sylowgruppen angefangen und ich werde mit dem Thema einfach noch nicht warm. Wir hatten da ein Bsp in der VL:

Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch.

Es gilt also |G| = 15 = 3 * 5.
Es gibt also 3-Sylowgruppen und 5-Sylowgruppen.

Für die 3-Sylowgruppe muss gelten:
i) N₃(G) = 1 (mod 3)
ii)N₃(G) teilt 15

Für die 5-Sylowgruppe muss gelten:
i) N₅(G) = 1 (mod 5)
ii)N₅(G) teilt 15

Und dann steht in der VL: Die Zahl der 3-Sylowgruppen ist 1 und die Zahl der 5-Sylowgruppen ist 1. Zusammen mit dem neutralen Element existieren 7 Elemente von G. Die übrigen Elemente haben die Ordnung 15.

WARUM? Woher kommt die 1? Woher kommen die 7 Elemente? Ich verstehe nur Bahnhof.

Wäre super, wenn mir das jemand erklären kann.

Answer 1

Die Anzahl \(N_3\) der 3-Sylowgruppen ist

\(N_3\equiv 1\) mod \(3\), also

\(N_3\in \{1,4,7,10,13\}\)  und ein Teiler von \(15\).

Also bleibt nur \(N_3=1\) als Möglichkeit.

Die Anzahl der 5-Sylogruppen ist

\(N_5\equiv 1\) mod \(5\), also

\(N_5 \in \{1,6,11\}\) und ein Teiler von \(15\).

Wieder bleibt nur \(N_5=1\) als Möglichkeit.

Da die beiden Sylowgruppen Primordnung haben, sind sie

zyklisch: \(S_3=\{e,a,a^2\}\) und \(S_5=\{e,b,b^2,b^3,b^4\}\).

Zusammen gibt das \(7\) Elemente. Die übrigen \(15-7=8\) Elemente

haben die Ordnung \(15\), d.h. sie erzeugen die Gruppe zyklisch.