Verbandshomomorphismus. Ist h: (N, |) -> (N, |) mit h(n) = n+3 ein Ordnungshomomorphismus oder?

Question

habe hier bereits einen Thread eröffnet, möchte aber nicht mehrere Fragen im selben Thread haben:

https://www.mathelounge.de/615143/verbands-homomorphismus-zeigen?show=618346#c618346

Habe nun eine ähnliche Aufgabe:

h: (N, |) -> (N, |) mit h(n) = n+3

Handelt es sich um einen Ordnungs-, Infimums- oder Supremumshomomorphismus?

Nun, ein Ordnungs-Homo. kann es ja schonmal nicht sein?

Gegenbeispiel:

3 | 6 != h(3) | h(6) = 6 | 9

Aber was ist mit den anderen beiden? Oder sind die damit schon ausgeschlossen?

z.B müsste gelten:

h(3 inf 6) = h(3) inf h(6)

h(3) = 6 inf 9

6 = 6 inf 9

ist für das eine Beispiel schonmal falsch? Und damit kein Inf-Homo?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Verbands-Homomorphismus. Ist Funktion h: (N, |) -> (N, |) mit h(n) = n+3 ein Ordnungshomomorphismus?

Stichworte: homomorphismus,ordnung,infimum,supremum

schade, dass man keine Bilder mit Aufgabenstellungen hochladen darf, das wäre einfacher... nun:

Handelt es sich bei der Funktion h: (N, |) -> (N, |) mit h(n) = n+3 um einen:

a) Ordnungs-Homomorphismus

b) Infimums-Homomorphismus

c) Supremums-Homomorphismus

Die Begrifflichkeiten sind mir klar. Es wird abgebildet von den natürlichen Zahlen mit Teilbarkeits-Beziehung auf selbige.

Die Funktion h soll zwischen beiden Verbänden abbilden.

Ich kann auch Beispiele konstuieren, z.B. zu a)

6|12 -> h(6) | h(12) = 9 | 15 (falsch)

Somit liegt kein Ordnungs-Homomorphismus vor.

Verstehe ich das bis dahin richtig?

Mein Problem: Wie beweise ich die Fälle allgemein?

---

Es gibt hier https://www.mathelounge.de/615143/verbands-homomorphismus-zeigen?show=618346#c618346 einen Kommentar auf deinen Kommentar. Regiere bitte darauf und vermeide doppelte Fragestellungen.

---

Scheint hier weiterzugehen: https://www.mathelounge.de/615143/verbands-homomorphismus-zeigen?show=618346#c618346

Ist diese Fragestellung denn immer noch aktuell?

---

Richtig, da geht es aber um eine andere Aufgabe und ich wollte es nicht der Übersichtlichkeit für Googlende halber nicht vermischen ;-)

---

Ist sie, ja.

Danke für's Verlinken!

Answer 1

Wenn h ein Infimumshomomorphismus ist, dann gilt für x≤y:

x = inf{x,y}

h(x)=h(inf{x,y}) = inf{h(x),h(y)} ≤ h(y)

also ist h auch ein Ordnungshomomorphismus.

Für Supremumshomomorphismen ist das ähnlich: x≤y

y=sup{x,y}

h(x) ≤ sup{h(x),h(y)} = h(sup{x,y}) = h(y)

Wenn die Abbildung also kein Ordnungshomomorphismus ist, kann sie weder Infimums- noch Supremumshomomorphismus sein.

Comments

Hm, aber habe ich mit meinem Gegenbeispiel zum Ordnungshomomorphismus nicht schon gezeigt, dass es nichts von den drei genannten sein kann?

---

Aber was ist mit den anderen beiden? Oder sind die damit schon ausgeschlossen?

Diese Frage wird in meiner Antwort beantwortet.

Hm, aber habe ich mit meinem Gegenbeispiel zum Ordnungshomomorphismus nicht schon gezeigt, dass es nichts von den drei genannten sein kann?

Ja, hast du. Du hast gezeigt, dass es kein Ordnungshomomorphismus ist und damit auch kein Inf/Sup Hom sein kann.

---

Ah gut ;-)

Du hast die Definition für ein allgemeines h angegeben.

War schon verwundert ;-)