Normalverteilung oder Binomialverteilung? 2% Ausschuss.

Question

Aufgabe:

Bei der Produktion von Lampen entstehen 2% Ausschuss.

Aus der Lieferung von 10.000 Stück wird eine Stichprobe von 50 Stück gezogen. Die Lieferung wird vorgenommen, wenn die Anzahl der fehlerhaften Stücke 2 nicht übersteigt. Ab 4 fehlerhaften Stücken wird sie abgelehnt. Enthält die Stichprobe 3 fehlerhafte Stücke, so wird eine weitere Stichprobe von 20 Stück gezogen. Sind alle Bauteile der zweiten Stichprobe in Ordnung, so wird die Lieferung angenommen, andernfalls abgelehnt.

a) Es werden vorerst nur 5 Stück ausgewählt. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion dar.

n:= 5

μ:= 5*0.02 = 0.1

σ:= √5*0.02*0.98= 0.31

b) Wie viel Stück muss man überprüfen, damit man 99% Wahrscheinlichkeit mindestens ein defektes Stück dabei ist?

μ:= 10.000*0.02=200
σ:= 14

P(X≥1)=0.99

c) Berechnen Sie die WS, dass die Lieferung abgelehnt wird. Interpretieren Sie das ERgebnis

Hier weiß ich leider nicht, wie ich vorgehen soll..

Stimmen meine Überlegungen soweit und hat jemand eine Idee zu c)?

Vorab danke an alle, die antworten!

Answer 1

a) Es werden vorerst nur 5 Stück ausgewählt. Stellen Sie die  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion dar.

Also die Verteilung der fehlerhaften Lampen folgt hier der Binomialverteilung. Dort gibt es allerdings soweit ich weiß keine Dichtefunktion sondern nur einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die Näherung durch die Normalverteilung wäre eine Dichtefunktion. Aber eine Näherung wäre nach der Moivre-Laplace-Regel nicht angebracht.

Du kannst trotzdem beides zeichnen und dann die Lehrkraft mal fragen, was gemeint war.

b) Wie viel Stück muss man überprüfen, damit man 99% Wahrscheinlichkeit mindestens ein defektes Stück dabei ist?

P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0.98^n ≥ 0.99 → n ≥ 228

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung abgelehnt wird. Interpretieren Sie das Ergebnis.

(1 - ∑(COMB(50, x)·0.02^x·0.98^(50 - x), x, 0, 3)) + (COMB(50, 3)·0.02^3·0.98^(50 - 3))·(1 - 0.98^20) = 0.03792

Es passiert also in etwa 3.8% aller Fälle, dass eine Lieferung abgelehnt wird, obwohl tatsächlich nur 2% aller Lampen defekt sind.