Konvergenz von Reihen beweisen

Question

kann mir vielleicht jemand sagen wie ich folgendes zeigen kann? Vielen Dank vorab!

Seien p ∈ N und x_n eine Folge für sie der Grenzwert

s = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) x_n+p / x_n   

existiert und |s| < 1 erfüllt. Zeigen Sie, dass die Reihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n} \) x_n konvergiert.

Comments

Kann es sein, dass für die Reihe eigentlich \( \sum_n^{\infty}\limits x_n \) stehen muss?

Answer 1

für den Fall, dass die Reihe eigentlich \( \sum_n^{\infty}\limits x_n \) ist, ist die Aussage eine verallgemeinerte Darstellung des Quotientenkriteriums beziehungsweise äquivalent dazu, denn:

\( \frac{a_{n+p}}{a_n} = \frac{a_{n+p}}{a_{n+p-1}} \frac{a_{n+p-1}}{a_{n+p-2}} \dots \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \).

Der Beweis kann in diesem Fall also analog zu einem Beweis des Quotientenkriteriums geführt werden.

Mister