Aufgabe:
Konvergenz von Reihen beweisen:
a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{4}{(2 n+2)(2 n+1)} \)
b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+18}{\sqrt{n^{2}+2 n}} \)
c) \( \sum \limits_{n=-\infty}^{0} \frac{3^{n}}{7 \cdot 2^{n-1}} \)
d) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^{2 n}}{(2 n) !} \)
e) \( \sum \limits_{n=13}^{\infty} \frac{8^{3 n}}{e^{n \cdot \ln (n)}} \)
Ansatz/Problem:
Ich muss diese 5 Reihen auf konvergenz untersuchen und bin mir bei einigen nicht sicher wie ich weiterrechnen bzw. ansetzen soll.
a) Hier hab ich ausmultipliziert und dann das Majorantenkriterium verwendet mit 1/n² als Majorante. Mein Ergebnis sollte an sich stimmen.
b) Hier hab ich keine Ahnung wie ich ansetzen soll. Vermutlich wieder Majoranten oder Minorantenkriterium verwenden. Würde mich hier über einen Lösungsweg freuen.
c) Hier hab ich zuerst 2^n-1 als 2^n /2 geschrieben und dann das 2/7 vor das summenzeichen gezogen damit ich nur noch 3^n / 2^n darstehn habe. Wie muss ich jetzt hier weiter amchen in der Präsenzübung wurde hier etwas von geometrischer reihe erwähnt, weiß aber nich wie ich die hier anwenden soll. Oder könnte man hier irgendwie das Wurzelkriterium anwenden, da man ja hoch n in zähler und nenner hat?
d)Hier hab ich einfach das Qotientkriterium angewendet und am ende dastehn 9/(2n+1) <1 → Konvergenz?
e) Hier hab ich den Nenner umgeschrieben zu n^n. Anschließend hab ich das Potengesetz benutzt und dastehn (8^3 /n)^n . Hier hab ich das Wurzelkriterium angewendet und dnan dastehn 8^3/n und für n gegen unendlich geht das gegen 0 <1 ->Die Reihe ist konvergent.
