Definitionsbereich Logarithmusfunktion abc Formel

Question

Aufgabe:

Zu bestimmen ist der maximale Definitionsbereich folgender Funktion

$$ f(x)=ln( \sqrt{x^2+3x+2} ) $$

Problem/Ansatz:

Ich weis, die ln-Funktion kann nicht negativ und nicht null werden.... Wurzel kann größer oder gleich null....

Also würde ich den Definitionsbereich bestimmen durch:

Ausdruck unter der Wurzel muss echt größer null sein....

x^2+3x+2 > 0

nun erhalte ich mithilfe der abc-Formel die Werte:

x₁= -1

x₂= -2

Ist mein Definitionsbereich also alle x∈ R außer -2 und -1..... ?

Comments

Nochmal eine Frage... der Definitionsbereich kann doch gar nicht die -2 und die -1 einschließen denn sonst habe ich ja den ln(0) und der ist nicht möglich beziehungsweise nicht definiert.... warum gibt mir der Onlinerechner dann an dass die beiden Werte noch in den Definitionsbereich dazugehören ?

Answer 1

x^2+3x+2 muss größer Null sein.

Es ist eine Parabel. Alle x-Werte zwischen den Nullstellen und die Nullstellen selbst fallen aus D heraus.

D= ]-oo;-2[ ∪ ]-1;+oo[

Answer 2

Ich weis, die ln-Funktion kann nicht negativ und nicht null werden

Doch, kann sie. Zum Beispiel ist ln(1/e) = -1 < 0 und ln(1) = 0.

Ausdruck unter der Wurzel muss echt größer null sein....

Das ist richtig, Weil die ln-Funktion negative Werte und null nicht verarbeiten kann.

Der Graph von x²+3x+2 ist eine nach oben geöffnete Parabel. Zwischen den beiden Nullstellen verläuft sie also unterhalb der x-Achse (hat also negative Werte).

x₁= -1 x₂= -2

Dann ist x²+3x+2 > 0 für muss x < -2 und für x > -1. Definietionsbereich ist also ℝ\[-2, -1].

Comments

Dann ist x2+3x+2 > 0 für muss x < .1 und für x > 2.

Warum denn jetzt positive x-Werte?

Ich erhalte die x-Werte -1 und -2

das heißt dort sind meine Nullstellen.

Also muss ja alles zwischendrin unmöglich sein für den Definitionsbereich

Das bedeutet:

x∈R \ {-2<=x<=-1} ist das soweit richtig als Lösung???

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Das stimmt wohl doch nicht ganz..... der Online Rechner spuckt mir diesen Definitionsbereich aus...... welcher ist denn jetzt richtig?

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x∈R \ {-2<=x<=-1} ist das soweit richtig als Lösung???

Das ist richtig.