An welchem Punkt hat der Graph der Logarithmusfunktion den geringsten Abstand zum Ursprung?

Question

Aufgabe:

An welchem Punkt hat der Graph der Logarithmusfunktion \( f(x)=\ln (x) \) den geringsten Abstand zum Ursprung \( (0 ; 0) \) ?

- Fertigen Sie eine problemangepasste Skizze an, so dass die verwendeten Variablen erkennbar sind.

- Bestimmen Sie die Zielfunktion zur Lösung der oben genannten Aufgabe.

- Ermitteln Sie den Zulässigkeitsbereich (d.h. die möglichst genaue Eingrenzung der beteiligten freien Variablen).

- Bestimmen Sie alle erforderlichen Nebenbedingungen zur Lösung der oben genannten Aufgabe.

Die Aufgabe besteht nicht darin diese Optimallösung zu bestimmen.

Problem/Ansatz:

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung: Vielen Dank im Voraus für die Hilfe. Liebe Grüße Sevi

Comments

Was davon hast Du nicht?

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- Fertigen Sie eine problemangepasste Skizze an,

Zeig mal.

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Die Formel findest du hier:

https://www.schullv.de/mathe/basiswissen/analysis/extremwertaufgaben/abstand_punkte_kurve

Answer 1

Der Abstand des Ursprungs zu einem Kurvenpunkt kannst Du so berechnen

$$ d(x) = \sqrt{x^2 + \ln(x)^2} $$ Die Funktion \( d(x) \) musst Du minimieren. Dazu kannst Du abr auch die Funktion \( d(x)^2 \) minimieren, das geht einfacher.

Das ergibt dann folgende Gleichung für den kritischen Punkt $$ 2 \frac{ \ln(x) } {x } + 2 x = 0 $$ oder auch $$  \ln(x) + x^2 = 0 $$ da ja \( x \in (0, \infty) \) liegen muss und somit \( x \ne 0 \) gilt.

Jetzt die zweite Ableitung bestimmen. das ergibt dann $$  \frac{ -2 \ln(x) +2 x^2 +2}{x^2} $$

Da der kritische Punkt bei \( \ln(x) = -x^2 \) liegt, folgt für die zweite Ableitung

$$ \frac{2x^2 + 2x^2 + 2}{x^2} > 0 $$ Also liegt bei der Lösung der Gleichung \( \ln(x) + x^2 = 0 \)  ein MInimum vor.

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Danke sehr :)