An welchem Punkt hat der Graph der Logarithmusfunktion den geringsten Abstand zum Ursprung?

Question

Aufgabe:

An welchem Punkt hat der Graph der Logarithmusfunktion $f(x)=\ln (x)$ den geringsten Abstand zum Ursprung $(0 ; 0)$ ?

- Fertigen Sie eine problemangepasste Skizze an, so dass die verwendeten Variablen erkennbar sind.

- Bestimmen Sie die Zielfunktion zur Lösung der oben genannten Aufgabe.

- Ermitteln Sie den Zulässigkeitsbereich (d.h. die möglichst genaue Eingrenzung der beteiligten freien Variablen).

- Bestimmen Sie alle erforderlichen Nebenbedingungen zur Lösung der oben genannten Aufgabe.

Die Aufgabe besteht nicht darin diese Optimallösung zu bestimmen.

Problem/Ansatz:

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung: Vielen Dank im Voraus für die Hilfe. Liebe Grüße Sevi

Comments

Was davon hast Du nicht?

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- Fertigen Sie eine problemangepasste Skizze an,

Zeig mal.

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Die Formel findest du hier:

https://www.schullv.de/mathe/basiswissen/analysis/extremwertaufgaben…

Answer 1

Der Abstand des Ursprungs zu einem Kurvenpunkt kannst Du so berechnen

$$d(x) = \sqrt{x^2 + \ln(x)^2}$$ Die Funktion $d(x)$ musst Du minimieren. Dazu kannst Du abr auch die Funktion $d(x)^2$ minimieren, das geht einfacher.

Das ergibt dann folgende Gleichung für den kritischen Punkt $$2 \frac{ \ln(x) } {x } + 2 x = 0$$ oder auch $$\ln(x) + x^2 = 0$$ da ja $x \in (0, \infty)$ liegen muss und somit $x \ne 0$ gilt.

Jetzt die zweite Ableitung bestimmen. das ergibt dann $$\frac{ -2 \ln(x) +2 x^2 +2}{x^2}$$

Da der kritische Punkt bei $\ln(x) = -x^2$ liegt, folgt für die zweite Ableitung

$$\frac{2x^2 + 2x^2 + 2}{x^2} > 0$$ Also liegt bei der Lösung der Gleichung $\ln(x) + x^2 = 0$  ein MInimum vor.

Comments

Danke sehr :)