Hallo.
Die Antwort soll sich genauso an alle anderen wenden.
Der Abstand wird gegeben durch die Funktionale f : |R^2 —> |R gegeben durch die Vorschrift f(x,y) := sqrt(x^2 + y^2). Da f stetig ist, können wir es auch erstmal mit g := f^2 gegeben durch g(x,y) = x^2 + y^2 arbeiten. Wie müssen die Funktion g auf der gegebenen Hyperbelmenge H := {(x,y) : 6x^2 -4y^2 = 1} minimieren. Wir nutzen dafür das Langrange-Verfahren. Zuerst einmal definieren wir die Nebenbedingung als die Funktionale h : |R^2 —> |R gegeben durch h(x,y) := 6x^2 - 4y^2 - 1, sodass h^(-1)({0}) = H gilt. Dann setzen wir zunächst die hauptsächliche Langrange-Funktionale L : |R^3 —> |R als die Funktionale L(x,y,s) := g(x,y) + s g(x,y) = x^2+y^2+s (6x^2 - 4y^2 - 1). Dann bilden wir den Gradienten von L, also grad(L)(x,y,s) = (2x+12sx, 2y -8sy, 6x^2 - 4y^2 - 1)^T. Wir suchen die (x,y,s) für die grad(L) verschwindet. Wir lösen das Gleichungssystem:
I: 2x+12sx = 0
II: 2y-8sy = 0
III: h(x,y) = 6x^2 - 4y^2 - 1 = 0
Gleichung I lässt sich in die Gleichung 2x (1+6s) = 0 unschreiben. Nun ist die Gleichung erfüllt, falle 2x = 0 oder 1+6s = 0 gilt. Hierbei kann 2x = 0 nur für x = 0 und 1+6s = 0 für s = -1/6 gelten. Der Fall x = 0 kann nicht sein, da es dann in III für y keine Lösung gäbe. Also muss s = -1/6 gelten. Dann folgt nach II y = 0. Einsetzen in III liefert dann x = + / - sqrt(1/6). Damit erhalten wir die möglichen Extrema von g auf H in den Punkten (sqrt(1/6), 0)^T und (-sqrt(1/6), 0)^T.
Die Hesse Matrix von g ist die (2x2)-Diagonalmatrix diag(2,2), welche immer positiv definit ist. Insbesondere ist sie positiv definit für alle Punkte in H, also auch für die beiden Punkte oben. Damit nimmt g auf H in den obigen Punkten ein absolutes Minimum auf. D.h. die Minimalität bzgl. des Abstandes der Punkte auf H zum Ursprung wird bei diesen beiden Punkten erfüllt. Der Minimale Abstand lässt sich dann durch die Funktionenwerte f(+/- sqrt(1,6),0) = sqrt(g)(+/- sqrt(1,6), 0) berechnen.
