0 Daumen
2,8k Aufrufe


Wie bestimmt man die Punkte mit dem minimalen Abstand zum Ursprung bei der folgenden Hyperbel?

6x2-4y2=1


Gruß

Avatar von

Möchtest du Extremwertaufgaben üben oder Kegelschnitte?

Kegelschnitte vgl z.B. https://www.mathelounge.de/616666/minimaler-abstand-zum-ursprung-bei-einer-ellipse

5 Antworten

+2 Daumen

Es sind in dem trivialen Fall die Schnittpunkte der Hyperbel mit der x-Achse.

Avatar von 55 k 🚀
+1 Daumen

https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbel_(Mathematik)#Hyperbel_in_1._Hauptlage

6x^{2}-4y^{2}=1      , üblicherweise x^2/ a^2 - y^2 / b^2 = 1. 

x^{2} / (1/6) - y^{2} / (1/4) =1

D.h. 1/6 entspricht dem gesuchten a^2.

1/6 = a^2

a = ± √(1/6) ≈ 0.408248

Avatar von 7,6 k
+1 Daumen

Hallo.

Die Antwort soll sich genauso an alle anderen wenden.

Der Abstand wird gegeben durch die Funktionale f : |R^2 —> |R gegeben durch die Vorschrift f(x,y) := sqrt(x^2 + y^2). Da f stetig ist, können wir es auch erstmal mit g := f^2 gegeben durch g(x,y) = x^2 + y^2 arbeiten. Wie müssen die Funktion g auf der gegebenen Hyperbelmenge H := {(x,y) : 6x^2 -4y^2 = 1} minimieren. Wir nutzen dafür das Langrange-Verfahren. Zuerst einmal definieren wir die Nebenbedingung als die Funktionale h : |R^2 —> |R gegeben durch h(x,y) := 6x^2 - 4y^2 - 1, sodass h^(-1)({0}) = H gilt. Dann setzen wir zunächst die hauptsächliche Langrange-Funktionale L : |R^3 —> |R als die Funktionale L(x,y,s) := g(x,y) + s g(x,y) = x^2+y^2+s (6x^2 - 4y^2 - 1). Dann bilden wir den Gradienten von L, also grad(L)(x,y,s) = (2x+12sx, 2y -8sy, 6x^2 - 4y^2 - 1)^T. Wir suchen die (x,y,s) für die grad(L) verschwindet. Wir lösen das Gleichungssystem:

I: 2x+12sx = 0

II: 2y-8sy = 0

III: h(x,y) = 6x^2 - 4y^2 - 1 = 0

Gleichung I lässt sich in die Gleichung 2x (1+6s) = 0 unschreiben. Nun ist die Gleichung erfüllt, falle 2x = 0 oder 1+6s = 0 gilt. Hierbei kann 2x = 0 nur für x = 0 und 1+6s = 0 für s = -1/6 gelten. Der Fall x = 0 kann nicht sein, da es dann in III für y keine Lösung gäbe. Also muss s = -1/6 gelten. Dann folgt nach II y = 0. Einsetzen in III liefert dann x = + / - sqrt(1/6). Damit erhalten wir die möglichen Extrema von g auf H in den Punkten (sqrt(1/6), 0)^T und (-sqrt(1/6), 0)^T.

Die Hesse Matrix von g ist die (2x2)-Diagonalmatrix diag(2,2), welche immer positiv definit ist. Insbesondere ist sie positiv definit für alle Punkte in H, also auch für die beiden Punkte oben. Damit nimmt g auf H in den obigen Punkten ein absolutes Minimum auf. D.h. die Minimalität bzgl. des Abstandes der Punkte auf H zum Ursprung wird bei diesen beiden Punkten erfüllt. Der Minimale Abstand lässt sich dann durch die Funktionenwerte f(+/- sqrt(1,6),0) = sqrt(g)(+/- sqrt(1,6), 0) berechnen.

Avatar von 1,7 k
0 Daumen

Umgestellt als Funktion
f ( x ) = 1/2 * √ ( 6x^2 - 1 )

gm-53.JPG

Punkt mit dem kürzesten Abstand
( x | 0 )
1/2 * √ ( 6x^2 - 1 ) = 0
x = 0.41
( 0.41 | 0 )

Avatar von 123 k 🚀
Punkt mit dem kürzesten Abstand

Es gibt 2 Punkte (und √(1/6) ist nicht 0,41).

Allgemein

gm-54.jpg

Pythagoras

a^2 = x ^2 + [ f(x) ] ^2

1.Ableitung bilden, zu null setzen, Extremwert berechnen.

Die vorliegende Hyperbel liegt folgendermassen im Koordinatensystem:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=6x%5E2-4y%5E2%3D1

Skärmavbild 2019-07-19 kl. 00.03.43.png

Sie lässt sich nicht einfach "als Funktion" schreiben. https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbel_(Mathematik)#Hyperbel_in_1._Hauptlage

Das Quadrat des Abstandes vom Ursprung kann man aber so wie du es gemacht hast, benutzen, um die Punkte zu bestimmen, die am nächsten beim Koordinatenursprung liegen.

( d(Punkt (x,y) auf Kurve, Ursprung) )^2  = x^2 + y^2, wobei die Bedingung 6x^{2}-4y^{2}=1 erfüllt sein muss. Bedingung geschickt einsetzen und Minimum bestimmen.

0 Daumen
Wie bestimmt man die Punkte mit dem minimalen Abstand zum Ursprung bei der folgenden Wie bestimmt man die Punkte mit dem minimalen Abstand zum Ursprung bei der folgenden Hyperbel? \(6x^2-4y^2=1\)

Hyperbel: \(6x^2-4y^2=1\)

Ellipse: \(6x^2+4y^2=1\)

\(6x^2-4y^2=6x^2+4y^2\)

\(-y^2=y^2\)

\(y=0\):

\(6x^2=1\)

\(x_1=\frac{1}{6}\sqrt{6}\)

 \(x_2=-\frac{1}{6}\sqrt{6}\)

Der minimale Abstand zum Ursprung beträgt \(\frac{1}{6}\sqrt{6}\) LE

Unbenannt.JPG





            

Avatar von 40 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community