Def. Grenzwert/ Stetigkeit

Question

Hallo liebe Leute, ich habe eine Frage zur Definition des Grenzwertes im vergleich zur Definition der Stetigkeit:

Warum ist bei der Definition des Grenzwertes $$0<|x-a|< \delta$$ wichtig und bei der Definition der Stetigkeit nur $$|x-a|< \delta$$

Weshalb darf bei der Stetigkeit x=a sein?

Danke und Liebe Grüße

Comments

Welche Art von Grenzwert-Definition verwendet ihr? Teilfolgen, Bälle?

Schreib bitte mal beide Definitionen vollständig hin.

Answer 1

Weshalb darf bei der Stetigkeit x=a sein?

Stetigkeit an einer Stelle x=a setzt ja zwingend voraus, dass die Funktion an dieser Stelle überhaupt definiert ist.

Also gibt es nicht nur Funktionswerte an solchen Stellen x, die sich nur in der Nähe von a befinden, es gibt dann auch den Funktionswert an der Stelle a selbst.

Ein Grenzwert bei Annäherung an eine Stelle a kann hingegen auch dann existieren, wenn es an der Stelle a selbst gar keinen Funktionswert gibt.

Answer 2

Stetigkeit bedeutet, dass der Grenzwert existiert und gleich dem Funktionswert ist.

Die Funktion \(f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}, x \mapsto \begin{cases} x+2& \text{falls } x\neq 1 \\ 1337&\text{falls } x=1 \end{cases} \) hat bei 1 den Grenzwert 3. Das wird sichergestellt durch die Forderung, dass \(0<|x-a|\) ist. Sie ist aber nicht stetig, weil \(f(1)\neq \lim_{x\to1}f(x)\) ist.

Ein weitere Aspekt ist, dass die Funktion dort, wo der Grenzwert bestimmt werden soll, überhaupt nicht definiert sein braucht. Auch die Funktion \(f: \mathbb{R}\setminus \{1\}\to\mathbb{R},x\mapsto x+2\) hat bei 1 den Grenzwert 3.