Stetigkeit abschnittweise def. Funktionen

Question

Aufgabe:

Überprüfe, An welchen Stellen  folgende Funktionen Stetig sind Und begründe deine Entscheidung

1. f(x) = x für x∈ℚ und f(x)=0 sonst

2. g(x)= sin (1/x) für x≠0 und g(x)=0 sonst

Problem/Ansatz:

Ich habe leider nicht verstanden, wie man auf Stetigkeit untersucht wenn die Funktionen eben sozusagen „wechseln“ zwischen den verschiedenen Werten. An sich wäre f(x)=x ja stetig und eigentlich f(x)=0 auch oder? Aber wie genau ich da auf ein korrektes Ergebnis komme weiß ich leider nicht..

Bei g dachte ich, dass sin 1/x auch stetig ist, aber wie man das immer bei den Sprungstellen untersuchen soll weiß ich nicht, da ich ja sehr viele sprungstellen habe,

Answer 1

(1)

Tipp: \(\mathbb{Q}\) liegt dicht in \(\mathbb{R}\).

(2)

Betrachte \(\Large x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi}\). Diese Folge geht für \(n\to \infty\) offensichtlich gegen \(0\). Gilt das auch für \(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)\)?