Zufallsvariablen Cov(X,Y) berechnen

Question

Aufgabe:

Von den beiden Zufallsvariablen X und Y ist bekannt, dass Var(X) = 1, Var(Y) = 4 und Var(3X + 2Y) = 13 gelten.

a)  Bestimmen Sie Cov(3X,2Y),Cov(X,Y) und den Korrelationskoeffizienten ρ(X,Y).

b)  Wie  verändert  sich  der  Korrelationskoeffizientρ(X,Y),  wenn  nun  giltV ar(X) = 1, V ar(Y) = 4, V ar(3X−2Y) = 13.

Problem/Ansatz:

In der Lösung stehen nur die Ergebnisse, aber ich weiß nicht wie man welche Formeln entsprechend umstellen muss.

Vielen Dank im Voraus euer Franzl.

Answer 1

1. Formel schnappen
2. Einsetzen was man hat
3. Auflösen zu dem was man nicht hat

Also

a)
VAR(3·X + 2·Y) = VAR(3·X) + VAR(2·Y) + 2·COV(3·X + 2·Y)
VAR(3·X + 2·Y) = 3^2·VAR(X) + 2^2·VAR(Y) + 2·COV(3·X + 2·Y)
13 = 9·1 + 4·4 + 2·COV(3·X + 2·Y) → COV(3·X + 2·Y) = -6

COV(a·X + b·Y) = a·b·COV(X + Y)
COV(3·X + 2·Y) = 3·2·COV(X + Y)
-6 = 6·COV(X + Y) → COV(X + Y) = -1

p(X, Y) = COV(X, Y) / √(VAR(X)·VAR(Y))
p(X, Y) = -1 / √(1·4) = -1/2

Comments

Ganz großes Kino. Vielen Dank