Aloha :)
Die Covarianz ist eine Bilinearform, das heißt, sie ist in beiden Argumenten linear:$$\operatorname{Cov}(A+B,C)=\operatorname{Cov}(A,C)+\operatorname{Cov}(B,C)$$$$\operatorname{Cov}(a\cdot A,B)=a\cdot\operatorname{Cov}(A,B)\quad;\quad a\in\mathbb R$$und dasselbe für das zweite Argument:$$\operatorname{Cov}(A,B+C)=\operatorname{Cov}(A,B)+\operatorname{Cov}(A,C)$$$$\operatorname{Cov}(A,a\cdot B)=a\cdot\operatorname{Cov}(A,B)\quad;\quad a\in\mathbb R$$
Mit diesen Regeln im Hinterkopf kannst du die Aufgabe leicht rechnen:
$$\operatorname{Cov}(-7X_1-X_2\big|X_1-10X_2)=\operatorname{Cov}(-7X_1\big|X_1-10X_2)+\operatorname{Cov}(-X_2\big|X_1-10X_2)$$$$\qquad=-7\operatorname{Cov}(X_1\big|X_1-10X_2)-\operatorname{Cov}(X_2\big|X_1-10X_2)$$$$\qquad=-7\left[\operatorname{Cov}(X_1\big|X_1)+\operatorname{Cov}(X_1\big|-10X_2)\right]-\left[\operatorname{Cov}(X_2\big|X_1)+\operatorname{Cov}(X_2\big|-10X_2)\right]$$$$\qquad=-7\left[\operatorname{Cov}(X_1\big|X_1)-10\operatorname{Cov}(X_1\big|X_2)\right]-\left[\operatorname{Cov}(X_2\big|X_1)-10\operatorname{Cov}(X_2\big|X_2)\right]$$$$\qquad=-7\operatorname{Cov}(X_1\big|X_1)+70\operatorname{Cov}(X_1\big|X_2)-\operatorname{Cov}(X_2\big|X_1)+10\operatorname{Cov}(X_2\big|X_2)$$$$\qquad=-7\sigma_1^2+69\sigma_{12}+10\sigma_2^2=-7\cdot15+69\cdot(-2)+10\cdot12=-123$$
