Berchnen Sie Jordan-Basen für die nachfolgende nilpotente Matrix.

Question

Aufgabe:

Berchnen Sie Jordan-Basen für die nachfolgende nilpotente Matrix.

Matrix:

0	0	0
1	1	1
-1	-1	-1

Answer 1

Ich nehme mal an, dass die Basis des Eigenraumes gemeint ist?

Ich würde dann

\(T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-1&0&1\\1&1&0\\0&-1&0\\\end{array}\right)\)

vorschlagen.

Simmer da auf dem richtigen Weg und welche Hinweise benötigst Du dann?

Comments

Danke schonmal für die Antwort. Mir würde ein angerissener Lösungsweg mit Schrittanleitung gut helfen. D.h. ich bräuchte mal ein Muster, um zu sehen, wie die Lösung funktioniert.

LG

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Die Frage ist doch was für eine Lösung erwartet wird? Mir ist der Begriff Jordan-Basis nicht geläufig - vermute aber was in Richtung Jordan-Diagonalisierung.

siehe https://ggbm.at/upUZg79r

Wenn also von Dir keine konkreten Angaben kommen  was Du an Vorwissen bereit hälst bezgl. einer Jordan-Basis, dann musst Du warten, bis einer die richtigen Verknüpfungen parat hat...

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Ich habe den Begriff auch noch nicht gehört, vermute es hat was mit der Jordanform zu tun.

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Ich habe mal versucht, auf die Lösung zu kommen:

als charakteristisches Polynom bekomme ich -x^3, also ist der Eigenwert = 0 mit algebraischer Vielfachheit 3.

Nun sollte die Jordan-Normalform so aussehen:

0	a	0
0	0	?
0	0	0

ich habe hier den Eigenwert in die Diagonale gesetzt (Diagonale muss 3 Felder lang sein, wegen algebraischer Vielfachheit 3), darunter steht ja 0.

Doch was passiert mit dem "?"

Ich weiß, dort muss eine 1 stehen, aber wieso?

Und das a sollte auch 0 geben. Ist das immer so, dass ganz oben eine 0-Reihe steht? Habe das so in einem Video gesehen.

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Ich habe weiter gerechnet:

angenommen meine Jordan-Normalform ist jetzt

0	0	0
0	0	1
0	0	0

(mir ist immernoch nicht klar, warum da eine 1 stehen muss..., es hat irgendwas mit den Jordankästchen zu tun...)

Jetzt habe ich einen Vektor gewählt, der kein Element vom Ker(A-Eigenwert) ist, aber ein Element von Ker(A-Eigenwert)^2, nämlich z.B. v1=

1

0

0

hierbei wären auch noch (0,1,0) bzw. (0,0,1) möglich gewesen, stimmts?

Dann habe ich die ursprüngliche Matrix mal v1 genommen und

v2=

0

1

-1

bekommen.

Jetzt fehlt noch v3.

v3 bekomme ich, indem ich einen linear unabhängigen Vektor zu v2 wähle. Dabei muss v3 ein Eigenvektor der Ursprungsmatrix sein. Da die Eigenvektoren der Ursprungsmatrix (-1,1,0) und (-1,0,1) sind, sind sie beide linear unabhängig zu v2 und man kann sich davon einen auswählen. So habe ich mich entschieden, dass v3=

-1

1

0

ist und so habe ich meine Jordan-Basis.

Diese besteht aus v1, v2  und v3.

Stimmt das nun? ^^

LG

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Edit, das hat sich jetzt überschnitten:

Ich hab Dir oben einen Link gegeben, die Dir die Diagonalisierung bestimmt. l^3=0 ist 3 facher Eigenwert und der Eigenraum hat Dim 2.

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&0&\left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\1&1&1\\-1&-1&-1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

===>

\(EVi \, :=  \,  \left\{ \left(\begin{array}{rrr}-1&1&0\\-1&0&1\\\end{array}\right) \right\} \)

Die Jordan-Normalform erhältst Du nur, wenn Du einen Hauptvektor findest:

(A - 0 E)^2 = 0 ist eine Nullmatrix und ergibt eine Basis aus e1,e2,e3 für die Hauptvektorsuche

HV1=e1 =(1,0,0)

liegt nicht im Kern von (A - 0 E) - ist also Ausgangsvektor für die Hauptvektoren:

HV1=(A - 0 E) HV2 = (0,1,-1)

Nun kann man einen EVi und die Hauptvektoren HV1,HV2 zu einer Basis des EIgenraums zusammensetzen.

Die Jordannormalform D erhältst Du dann, z.B.

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-1&0&1\\0&1&0\\1&-1&0\\\end{array}\right)\)

D:=T^(-1) A T

\(D \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{array}\right)\)

Edit: ich seh gerade ich hab einen anderen EV genommen für T - wie DU - egal - Du kannst das so stehen lassen...