Sei f : [0, 1] → [0, 1] stetig auf [0, 1] und differenzierbar auf (0, 1) und es exestiere ein a < 1 , so daß |f '(x)| ≤ a für alle x ∈ (0, 1) gilt. Ferner sei x0 ∈ (0, 1) und xn+1 := f(xn) für alle n ∈ ℕ.
a) Zeigen sie, dass |xn+1 - xn| ≤ an |x1 - x0|
b) Folgern Sie, dass (xn) n ∈ ℕ0 eine Cauchyfolge ist.
Die a) war noch ganz gut machbar mit Induktion und Mittelwertsatz, nur bei der b) hackt es gerade leider ein wenig und komme mit der Lösung momentan auch nicht weiter. DIe Lösung lautet wie folgt:
$$ |x_{n+k}-x_n|\leq\sum \limits_{i=0}^{k-1}|x_{n+i+1}-x_{n+i}|\leq\sum \limits_{i=0}^{k-1}a^{n+i}=a^n\frac{a^k-1}{a-1}\leq a^n\frac{1}{1-a}=:a_n $$
Sei ε > 0 Sei N so groß, dass ∀ n ≥ N: an < ε
Dann gilt ∀ m,n ≥ N: |xm - xn| ≤ an < ε
OK erstmal zu folgendem Teil:
$$ \sum \limits_{i=0}^{k-1}|x_{n+i+1}-x_{n+i}| $$
Hier erscheint es mir so, als ob, genau dieselbe Differenz wie xn+k - xn nur als Summe hingeschrieben wurde. Also für mich wäre es dasselbe = anstatt ≤ zu schreiben.
Dann bei der nächsten Abschätzung nach oben mit $$ \sum \limits_{i=0}^{k-1}a^{n+i} $$
Verstehe ich nicht, wieso hierbei einfach |x1 - x0 | wie bei der a) weggelassen werden kann oder ob sich das ganze nun auf die Ableitung bezieht. da diese ja kleiner gleich a ist. Der nächste Teil erscheint mir falsch, da die Formel, wie ich sie für die geo. Reihe kenne folgendermaßen lauten sollte:
$$ \frac {1-a^{k}}{1-a} $$
Die Schlussfolgerung ist mir dann wiederum ganz gut verständlich.
