Flächenberechnung mit Parallele zur x-Achse

Question

Aufgabe:

Parabel: f(x)=-\( \frac{1}{3} \)x²+2x+2

Eine Parallele zur x-Achse geht in den ersten zwei Quadranten durch den Parabelpunkt mit dem x-Wert t. Sie begrenzt mit der Parabel eine Fläche, die den Flächeninhalt 12 hat. Berechne t.

Ansatz:

 \( \int\limits_{3}^{b} \)-\( \frac{1}{3} \)x²+2x+2 dx - (-\( \frac{1}{3} \)b²+2x+2)(b-3)

b als einer der Schnittpunkte von der Parallele zur x-Achse und der Parabel.

Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob mein Ansatz so stimmt, denn ich erhalte immer ein falsches Ergebnis für t. (t=0)

Ich wäre froh über neue Ideen zur Lösung dieser Aufgabe oder Verbesserungsvorschlägen zu meinem Ansatz.

Vielen Dank im Voraus

jobro

Comments

Offenbar möchtest du die Symmetrie zur Scheitelstelle \(x=3\) nutzen. Nun kannst du \(b\) durch \(t\) ersetzen und den ganzen Term gleich 12/2=6 setzen. Wenn ich nichts übersehen habe, müsste das gehen.

---

So wäre dein Ansatz dann vollständig:$$\int_{3}^{t} -\dfrac{1}{3}\cdot x^{2}+2\cdot x+2\text{ d}x  - \left(-\dfrac{1}{3}\cdot t^{2}+2\cdot t+2 \right)\cdot \left(t-3\right) = 6$$

---

Vielen Dank. Vermutlich habe ich einen Fehler in meiner Rechnung.

---

könnte es auch sein, dass das integral anders aussieht?

\( \int\limits_{t}^{3} \) -\( \frac{1}{3} \) x²+2x+2 dx

---

Das geht auch. Es gibt ja zwei Schnittstellen, von denen eine, nennen wir sie \(t\), bestimmt werden soll. Die andere ist dann \(3-(t-3)\).

Answer 1

Hallo

die Parallele ist ja y=a a>0 du musst von x=x1 bis x2 integrieren und das Rechteck  (x2-x1) abziehen. warum fängt dein Integral bei 3 an? bei (3,5) ist ja das Max der Parabel? also a<5 und du hast a=f(x) daraus x1 und x2 , x2=t=3+√(15-3a)

Gruß lul

Comments

Ich habe die Fläche halbiert, damit man keine 2 Unbekannten hat und die Hälfte der Fläche wäre dann beim Höhepunkt.

Answer 2

Ist die Länge der Geraden gleich 6 ?

Dann könnte ich meine Vorgehensweise auch
noch einstellen.