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Hallo :)

Gegeben ist die Geradenschar g durch g(x)=(t²-4)x-2 mit (ist element von R) und die Gerade h durch h(x)=2x+3

a)Für welche Werte von x ist die Steigung der Geraden positiv?

b)Für welche Werte von t verläuft die Gerade g parallel zur Geraden h?

c)Für welche Werte von t verläuft die Gerade g senkrecht zur Geraden h?

d)Bestimmen Sie t so, dass sich die Gerade g und h an der Stelle x=-2 schneiden.

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Grüße
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Prüfe bitte nochmal die Aufgabenstellung - Hast du alles richtig und vollständig abgetippt?

bei a) zum Beispiel steht:

Für welche x ist die Steigung der Geraden positiv?

Welche Gerade ist hier gemeint? Die Gerade h ( x ) ? Deren Steigung ist überall positiv, nämlich gleich 2.

Oder ist die Geradenschar g ( x ) gemeint (die eigentlich mit g t ( x ) bezeichnet werden müsste? Deren Steigung hängt aber nicht von x sondern von t ab ...

Sorry,
a)Für welche Werte von t ist die Steigung der geraden positiv?

Aber ansonsten passt alles.

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a) Nun, die Steigung einer Geraden ist positiv, wenn in ihrer Gleichung der Faktor vor dem x positiv ist.

Bei der Geradenschar g ( x ) ist dieser Faktor der Ausdruck t ² - 4

Für welche t ist dieser Ausdruck positiv, also größer als Null?

t ² - 4 > 0

<=> t ² > 4

<=> t > 2 oder t < - 2

 

b) Zwei Geraden laufen parallel zueinander, wenn ihre Steigungen gleich, ihre y-Achsenabschnitte aber verschieden sind (wenn auch die y-Achsenabschnitte gleich sind, dann sind die Geraden identisch).

Vorliegend sind die y-Achsenabschnitte von g ( x ) und h ( x ) verschieden, die Geraden können also niemals identisch sein.

Parallel sind sie dann, wenn ihre Steigungen gleich sind, wenn also gilt:

t ² - 4 = 2

<=> t ² = 6

<=> t = +/- √ 6

Schaubild

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sqrt+%28%286%29%C2%B2%29+-+4+%29+*+x+-+2+%2C+2+x+%2B+3+

 

c) Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen gleich - 1 ist.

Da h ( x ) die Steigung 2 hat muss also eine Gerade, die senkrecht auf h steht, die Steigung - 1 / 2 haben ( 2 * ( - 1 / 2 ) = - 1 )

Für welche t also gilt:

t ² - 4 = - 1/2

<=> t ² = 3,5

<=> t = +/- √ 3,5

 

d) Zwei Geraden schneiden sich an der Stelle x, wenn sie dort denselben Funktionswert haben .

Setze also x = 2 in beide Geradengleichungen ein, setze die so erhaltenen Funktionsterme gleich und löse die Gleichung nach t auf:

( t ² - 4 ) * 2 - 2 = 2 * 2 + 3

<=> 2 t ² - 8 - 2 = 7

<=> 2 t ² = 17

<=> t ² = 8,5

<=> t = +/- √ 8,5

Schaubild:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sqrt%288.5%C2%B2%29+-+4+%29+*+x+-+2+%2C+2+x+%2B+3+

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