a) Nun, die Steigung einer Geraden ist positiv, wenn in ihrer Gleichung der Faktor vor dem x positiv ist.
Bei der Geradenschar g ( x ) ist dieser Faktor der Ausdruck t ² - 4
Für welche t ist dieser Ausdruck positiv, also größer als Null?
t ² - 4 > 0
<=> t ² > 4
<=> t > 2 oder t < - 2
b) Zwei Geraden laufen parallel zueinander, wenn ihre Steigungen gleich, ihre y-Achsenabschnitte aber verschieden sind (wenn auch die y-Achsenabschnitte gleich sind, dann sind die Geraden identisch).
Vorliegend sind die y-Achsenabschnitte von g ( x ) und h ( x ) verschieden, die Geraden können also niemals identisch sein.
Parallel sind sie dann, wenn ihre Steigungen gleich sind, wenn also gilt:
t ² - 4 = 2
<=> t ² = 6
<=> t = +/- √ 6
Schaubild
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sqrt+%28%286%29%C2%B2%29+-+4+%29+*+x+-+2+%2C+2+x+%2B+3+
c) Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen gleich - 1 ist.
Da h ( x ) die Steigung 2 hat muss also eine Gerade, die senkrecht auf h steht, die Steigung - 1 / 2 haben ( 2 * ( - 1 / 2 ) = - 1 )
Für welche t also gilt:
t ² - 4 = - 1/2
<=> t ² = 3,5
<=> t = +/- √ 3,5
d) Zwei Geraden schneiden sich an der Stelle x, wenn sie dort denselben Funktionswert haben .
Setze also x = 2 in beide Geradengleichungen ein, setze die so erhaltenen Funktionsterme gleich und löse die Gleichung nach t auf:
( t ² - 4 ) * 2 - 2 = 2 * 2 + 3
<=> 2 t ² - 8 - 2 = 7
<=> 2 t ² = 17
<=> t ² = 8,5
<=> t = +/- √ 8,5
Schaubild:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sqrt%288.5%C2%B2%29+-+4+%29+*+x+-+2+%2C+2+x+%2B+3+
