invariante Unterräume bestimmen eines Operators A auf dem R²

Question

Aufgabe:

A=\( \begin{pmatrix} 2& -5 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe begonnen das charakteristische Polynom aufzustellen:

det (A-λI) = det ( \( \begin{pmatrix} 2& -5 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} λ & 0 \\ 0 & λ \end{pmatrix} \) )

det (A-λI) = (λ-3) (λ+3)

Die Eigenwerte lauten also:

λ₁ = -3

λ₂ = +3

Die Eigenvektoren dazu lauten also:

(A-λ₁I)*x=0

\( \begin{pmatrix} -1 & -5 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \)  --> \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

--> der erste Eigenvektor ist der Nullvektor? (aufgrund linearer Unabhängigkeit?)

(A-λ₂I)*x=0

\( \begin{pmatrix} 5 & -5 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \)  → \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

--> der zweite Eigenvektor ist der Nullvektor? (aufgrund linearer Unabhängigkeit?)

--> dim (U) = 0 ??

Answer 1

det (A-λI) = (λ-3) (λ+3)

Ich erhalte \( \det(A-\lambda I) = \lambda^2 + 1\)

Also keine reellen Eigenwerte

der erste Eigenvektor ist der Nullvektor?

Der Nullvektor ist nie ein Eigenvektor!

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Du hast in der anderen Aufgabe schon gesehen: \( \{ 0 \} \) und \( \mathbb{R}^2 \) sind invariante Unterräume (hier ist \( V = \mathbb{R}^2 \) ).

Damit haben wir auch schon alle Untervektorräume der Dimension 0 und 2 abgehakt. Mehr gibt es von denen nämlich nicht. Gibt es 1-dimensionale invariante Untervektorräume?

Für \( U \le \mathbb{R}^2 \) mit \( \dim U = 1 \) schnapp dir mal eine Basis \( U = \langle v_1 \rangle \), d.h. \( U = \{ \lambda v_1 ~|~ \lambda \in \mathbb{R} \} \). Kann jetzt \( \tilde{A}(U) \subseteq U\) gelten? Nehmen wir uns einfach mal ein \( u \in U \) dann existiert ein \( \lambda \in \mathbb{R} \) mit \( u= \lambda v_1 \). Wann ist

$$ Au = A \lambda v_1 = \lambda A v_1 \in U ? $$

Natürlich, falls ein \(  \mu \in \mathbb{R} \) mit

$$ \lambda A v_1 = \mu v_1 $$

existiert. Falls \( \lambda = 0 \) wähle einfach \( \mu = 0 \). Falls \( \lambda \neq 0 \) gilt:

$$ A v_1 = \frac{\mu}{\lambda} v_1 $$

Also ist \( \frac{\mu}{\lambda} \) ein reeller Eigenwert von \( A\). Was schließt du daraus?

Comments

Oh ja ! Danke, ich hatte einen Rechenfehler!

λ₁= i       und        λ₂ = -i

und die beiden Eigenvektoren

v1=\( \begin{pmatrix} -2+i\\1 \end{pmatrix} \)

v2=\( \begin{pmatrix} 2-i\\1 \end{pmatrix} \)

Stimmt das jetzt oder?

Und wie geht das jetzt genau weiter, das verstehe ich noch nicht ganz..

Vielen Dank!