Kugelverhältnis zwischen Oberfläche und Volumen?

Question

Aufgabe:

Die Oberflächen zweier Kugeln verhalten sich wie 2 : 3. Wie verhalten sich ihre Volumina zueinander?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe diese Aufgabe ganz und gar nicht. Kann mir jemand helfen, bitte?

Answer 1

Die Oberflächen zweier Kugeln verhalten sich wie 2 : 3.
Wie verhalten sich ihre Volumina zueinander?
Formeln
V = 4/3 * pi * r³
O = 4 * Pi * r²

Am einfachsten geht es vielleicht so
1.Kugel : angenommen O = 2
Radius berechnen
2 = 4 * Pi * r(1)²
r(1)² = 1/(2*PI)
r(1) = √ [1/(2*PI)] = 0.399

2.Kugel : angenommen O = 3
Radius berechnen
3 = 4 * Pi * r(2)²
r(2)² = 3/(4*PI)
r(2) = √ [3/(4*PI)] = 0.488

V(1) = 4/3 * pi * r(1)³
V(2) = 4/3 * pi * r(2)³

V(1) = 4/3 * pi * 0.399³
V(2) = 4/3 * pi * 0.488³ | Verhältnis, beide Seiten teilen
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V(1) / V(2)
= 0.399³ / 0.488³
= 0.0635 / 0.1162

Entspricht
2 : 3.66

Comments

Oberflächen 2 : 3
Volumen 2 : 3.66

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Danke, das habe ich gebraucht!

Answer 2

Wenn sich die Oberflächen wie

3 : 2 verhalten dann verhalten sich die Radien wie √3 : √2

und damit verhalten sich die Volumina wie

(√3)³ : (√2)³ 

3√3 : 2√2

3/4·√6 : 1

≈ 1.837117307

≈ 1837 : 1000

Comments

Woher weisst du das? Wie kann man das beweisen. Ich möchte es nicht einfach auswendig lernen.

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Ich verstehe darunter einfach gar nichts. Wie leitet man deine Lösung her?

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Berechne den Radius einer Kugel mit einer Oberfläche von 2 FE. Z.B. Quadratmeter.

Berechne dann den Radius einer Kugel mit 3 FE.

Setze dann die Radien ins Verhältnis. Erkennt du etwas ?

Berechne dann die Volumen der beiden Kugeln und setze diese ins Verhältnis. Was erkennst du dann?

Notiere die Ergebnisse.

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wart kurz Ich mache das gleich

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hä. Beides ergibt das gleiche Verhältnis!

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Das kann nicht sein. Bei einer Oberfläche von 2 m². Wie groß ist da der Radius?

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Wurzel2*pi / 2*pi

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Das Verhältnis der Radien und das Verhältnis der Volumen ergibt beides Wurzel6/3

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Wenn ich dann Wurzel6 / 3 * 2/3 mache, bekomme ich die Lösung..

was ist hier los?

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Die Lösung im Heft ist eben 2*Wurzel6 / 9

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Das Verhältnis der Radien sollte

√6 : 2 sein oder eben √3 : √2 wie ich oben geschrieben habe.

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Das ist eben falsch. Die Lösung ist eben genau umgekehrt. (Wurzel2)³ : (Wurzel3)³ = 2*Wurzel6 : 9

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Lies mal meine Lösung

Wenn sich die Oberflächen wie 3 : 2 verhalten dann verhalten sich die Radien wie √3 : √2 und damit verhalten sich die Volumina wie (√3)^3 : (√2)^3.

Beachte schon das ich angefangen habe mit 3 : 2

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Wieso machst du es genau umgekehrt?

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Damit du nicht einfach nur abschreibst sondern auch selber überlegst.

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Wenn ich abschreiben wollen würde, dann hätte ich dich nicht gefragt, wieso das so ist, sondern hätte es einfach übernommen.

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Ich verstehe aber immer noch nicht, worauf du hinaus willst. Irgendwie funktionierts nicht.

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Hast du denn das Volumen berechnet und auch dort das hoch 3 richtig verarbeitet?

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Ich verstehe aber immer noch nicht, worauf du hinaus willst.

Es gilt der ganz einfache Zusammenhang:

Wenn sich die Oberflächen wie a : b verhalten dann verhalten sich die Radien wie √a : √b und damit verhalten sich die Volumina wie (√a)^3 : (√b)^3

Das folgt bereits aus den Strahlensätzen. Aber folgt auch direkt aus den Flächen bzw. Volumenformeln.