Kern einer 3x4-Matrix bestimmen

Question

Aufgabe:

Ich habe eine 4x3-Matrix gegeben

A= \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 4 \\ 3 & 4 & 9 & 6 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \end{pmatrix} \)

a) berechne den Kern(A)

b) welche Dimensionen haben Kern(A) und Bild(A)? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Ich habe angefangen das lineare gleichungssystem zu lösen und am Ende folgende Matrix erhalten:

A= \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \end{pmatrix} \)

Leider weiß ich nicht wie ich den Kern erhalte. Die Aufgabe b) habe ich für beide Dimensionen 2

Hoffe mir kann jemand weiterhelfen

Answer 1

Die Dimensionen stimmen und

da du beim Umformen eine Nullzeile erhältst,

kannst du x3 = s und x4= t frei wählen und hast dann

die Gleichungen

x1 - s - 2t = 0

also x1 = s+2t

und

x2 +3s  + 3t = 0

also x2 = -3s - 3t

und damit sind die Elemente vom Kern

( s+2t ; -3s - 3t , s , t ) ^T

= s*(1 ; -3 ; 1 ; 0 )^T + t*(  2 ; -3 ; 0 1 ) ^T

also bilden (1 ; -3 ; 1 ; 0 )^T und (  2 ; -3 ; 0 1 ) ^T

eine Basis vom Kern.

Comments

Danke, hast mir heute echt weitergeholfen!