Zeige, dass die Gerade g parallel zur Ebene E ist? Abstand von g und E?

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die Gerade g parallel zur Ebene E ist und ermittle den Abstand von g und E! g: X (-2 | 3 | -5)+t (3 | 2 | 1), E:x-y-z-4

Kann mir jemand bitte diese Aufgabe erklären? Ich weiß nicht, wie ich sie machen soll

Answer 1

Lautet die Ebene

E: x - y - z - 4 = 0 ?

Comments

Normalenvektor der Ebene
N = [1, -1, -1]

Skalarprodukt des Normalenvektor mit dem Richtungsvektor der Geraden
[1, -1, -1]·[3, 2, 1] = 0

Die Gerade ist Senkrecht zum Normalenvektor und damit liegt die Gerade entweder in der Ebene oder parallel dazu.

Abstand Ortsvektor der Geraden zur Ebene
E: x - y - z - 4 = 0
d = |x - y - z - 4| / |[1, -1, -1]|

Punkt einsetzen und ausrechnen
d = |-2 - 3 - (-5) - 4| / |[1, -1, -1]| = 4/3·√3 = 2.309

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Ich habe jetzt verstanden. Danke sehr!

Answer 2

Der Normalenvektor der Ebene E und der RV der Geraden g müssen kollinear sein. Somit sind g und E entweder echt parallel oder inzidieren miteinander.

Abstand der beiden, insofern sie parallel sind, kann auf Abstand Punkt-Ebene mit der Formel \(d(P;E)=\dfrac{|n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3-d|}{|\vec{n}|}\), wobei P ein Punkt auf der Geraden ist, zurückgeführt werden.

Andernfalls muss ein Schnittpunkt existieren.