Gesucht ist eine Gerade mit den Punkten, die parallel zur Ebene verläuft und den Abstand 4 hat.

Question

4) Gegeben ist eine Ebene \( \varepsilon \) durch die Punkte \( \mathrm{F}(2 ; 1 ; 2), \mathrm{G}(8 ;-2 ;-1), \mathrm{H}(-4 ;-4 ; 1) \). Gesucht ist eine Gerade, die parallel zur Ebene verläuft und den Abstand von 4 Längeneinheiten hat.

Ich hab die Ebene in Koordinatenform gestellt und zwar x + 4y + z = ...

dann weiss ich nicht weiter, da es 3 Unbekannte sind.

Answer 1

Normalenvektor der Ebene bestimmen

([8, -2, -1] - [2, 1, 2]) ⨯ ([-4, -4, 1] - [2, 1, 2]) = [-12, 24, -48] = - 12·[1, -2, 4]

|[1, -2, 4]| = √21

[1, -2, 4] * 4/√21 = [4/21·√21, - 8/21·√21, 16/21·√21]

[2, 1, 2] + [4/21·√21, - 8/21·√21, 16/21·√21] + r * ([8, -2, -1] - [2, 1, 2])

= [2, 1, 2] + [4/21·√21, - 8/21·√21, 16/21·√21] + r * [6, -3, -3]

Das sieht leider sehr unschön aus, weil mir der Normalenvektor keine schöne Länge von 4 gibt :(