Zeigen Sie, dass die Matrix über R diagonalisierbar ist!

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Matrizen A und B über R diagonalisierbar sind:

A=\( \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

B=\( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Hallo ich hab diesen Teil der Vorlesung leider nicht mitbekommen, kann mir jemand an A oder B das einmal zeigen? Ich muss auch zeigen das die Matrix A+B über R diagonalisierbar ist und meine Antwort begründen. Wenn ich das einmal gesehen habe, würde ich das dann nämlich dementsprechend auf die beiden anderen übertragen!

Ich hab nur dank Wiki schon heraus bekommen das eine Matrix diagonalisierbar ist wenn folgendes erfüllt ist.

D_A=S^-1AS bzw. SD_A=AS.

Das hilft mir nur leider jetzt konkret nicht weiter.

Vielen Dank für die Hilfe im voraus.

Wünsche euch allen einen guten Start in die Woche

Comments

Kannst du Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen? Das wäre hier der erste Schritt zu tun.

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Danke für deine Antwort ich habe folgendes berechnet

Eigenwerte sind für A= λ₁= \( \sqrt{2} \)  λ₂= -\( \sqrt{2} \)  und als Eigenvektor habe ich (\( \sqrt{2} \) *x₂ , x₂ )

Für B= λ₁=1 λ₂=-1 und als Eigenvektor hab ich \( \begin{pmatrix} x₂\\x₂ \end{pmatrix} \)

Answer 1

Dann hast Du ja schon das wesentliche zusammen.

Die EIgenwerte  bestimmen die Diagonalmatrix: siehe

https://www.geogebra.org/material/show/id/upUZg79r

zur Berechnung.

Du musst doch die Diagonalisierung nicht angeben, oder?

Wenn Du zeigst, dass für die Eigenwerte aus

det(A - λ E)=0

die algebraische Vielfachheit (es sind einfache Nullstellen ) übereinstimmt mit der geometrischen Vielfachheit, DIM des Eigenraumes n-Rang(A - λ E) = 1 ===> Diagonalisierbar.

Für die Eigenvektoren setzt Du x2=1 ==> Du hast 2 Eigenvektoren von A entsprechend +√2 und -√2.

Für B ===> EW= ±1 und A+B ===> EW=±√6

Comments

Ich muss zeigen das die Matrizen in R diagonalisierbar sind