Aufgabe:
Folgende Aussage ist zu vereinfachen.
Mit Venn Diagrammen konnte ich das lösen und komme auf das Endresultat \(B.\) Und das ist die richtige Lösung.
Läsungsversuch1:
$$ \begin{aligned} (A∧B)∨¬(A∨¬B) &= (A∧B)∨(¬A∧B) & \text{Nach Anwednung des de Morgan Gesetzes.}\\ &= (A∧B∨¬A∧B) & \text{Assoziativgesetz.} \\ &= (A∨¬A)∧(B∧B) & \text{Kommutativ- und Assoziativgesetz.} \\ &= wahr∧B & \text{Hier kriege ich nicht nur B, wie mit dem Venn-Diagramm.} \end{aligned} $$
Problem:
Ich denke ich darv das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz nur dann anwenden, wenn die Vorzeichen gleich sind. Also wenn ich eine Kette von Aussagen der Form: \(A∨B∨C∨...∨D∨E∨F.\) Hier dürfte ich die Klammern Beliebig setzen oder weglassen, analog mit dem logischen und.
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Lösungsversuch2:
$$ \begin{aligned} (A∧B)∨¬(A∨¬B) &= (A∧B)∨(¬A∧B) & \text{Nach Anwednung des de Morgan Gesetzes.}\\ &= A∧(B∨(¬A∧B) & \text{Klammern neu gesetzt (falls erlaubt),} \\ & & \text{dann Distributivgesetz.}\\ &= A∧(B∨¬A)∧(B∨B) & \text{Klammern weglassen (falls erlaubt),} \\ & & \text{dann Kommutativgesetz.Idempotenz.} \\ &= (A∨¬A)∧(B∧B) & \text{Immer wahr, Idempotenz.}\\ &= wahr∧B & \text{Hier kriege ich wieder nicht nur B raus. }\\ \end{aligned} $$
Frage:
Ich denke ich mache mit dem Assoziativ- und Kommutativgesetz etwas falsch, und komme deswegen nicht nur auf B.
Kann mir jemand hier behilflich sein?
